算法:完全背包问题dp

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一、完全背包问题的特征

完全背包问题是动态规划中的一种经典问题,它的主要特征可以总结如下:

  1. 无限使用物品 :与0-1背包问题不同,其每种物品只能使用一次,而完全背包问题允许每种物品被无限次选取。

  2. 背包容量限制 :存在一个容量限制W,所有选取的物品总重量不能超过这个限制。

  3. 目标函数目标是在不超过背包容量的前提下,最大化背包内物品的总价值。

  4. 复杂度 :完全背包问题的时间复杂度和空间复杂度取决于具体的实现方法,通常时间复杂度为O(NW),其中N是物品数量,W是背包容量。通过优化,空间复杂度可以降低到O(W)

二、定义状态

  • 定义dp[i][j]表示,考虑前i个物品且背包容量为j时的最大价值。

三、状态转移

  • dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-weight[i]]+price[i])
  • 即背包容量为j时,考虑前i个物品的最大价值从两个方面转移而来:
    • dp[i-1][j]:不加入物品i时,容量为j的背包利益最大值。
    • dp[i][j-weight[i]]+price[i]:加入物品i时,容量为j的背包利益最大值。

我们需要特别注意这里和0-1背包的区别,

0-1背包:dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+price[i]),因为0-1背包每个物品要么放要么不放,而完全背包问题每个物品可以放置多次,因此转移时是从考虑物品i的情况下转移的。

cpp 复制代码
for(int j=weight[0];j<=V;++j)
	dp[0][j]=dp[0][j-weight[0]]+price[0];
for(int i=1;i<N;++i)
for(int j=weight[i];j<=V;++j)
	dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-weight[i]]+price[i]);

四、降维优化

考虑到状态转移的时候,我们是一个物品一个物品考虑的,相当于二维数组中一行一行考虑的,当前状态只需要用到之前的状态,因此我们可以进行降维优化。将空间降低到一维:

cpp 复制代码
    dp[0]=0;
    for(int i=0;i<N;++i){//考虑第i个物品
        for(int j=weight[i];j<=V;++j){
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+price[i]);
        }
    }

五、参考例题

5.1、Acwing:3.完全背包问题

模板题
3.完全背包问题

cpp 复制代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace  std;
int main(void){
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    int N,V;
    cin>>N>>V;
    
    vector<int> volume(N);
    vector<int> price(N);
    for(int i=0;i<N;++i){
        cin>>volume[i]>>price[i];
    }
    
    vector<int> dp(V+1);
    dp[0]=0;
    
    for(int i=0;i<N;++i){//考虑第i个物品
        for(int j=volume[i];j<=V;++j){
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-volume[i]]+price[i]);
        }
    }
    
    cout<<dp[V];
    return 0;
}
5.2、Acwing:900. 整数划分

900.整数划分

整数划分问题可以转换成,完全背包问题。即:

对于体积为n的背包,有1~n ,n个物品,每个物品的体积为其编号大小,求体积为n的背包能被装满的不同物品放置种类数。
整数划分问题解析

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