最近在准备蓝桥杯，进程遇到算法超时的问题，很多时候都是拿快速幂进行一个优化的，比如下面这道题：
我们将问题提取出来，这就是一道计算 a^b 值的题目，那么问题来了，如何计算a^b？下面先讲一下普通幂算法的操作，再引出快速幂算法。
普通幂算法
我们在计算的 a^n 的时候，其实就是n个a相乘，那么我们就是需要遍历n遍，时间复杂度就是O(n)。别想着这不是很简单？其实当n值较小的时候，并没有很大的区别，但是当n值特别大时，这计算时间就得"等到天黑了"。 而采用快速幂算法就不一样了
看这个遍历次数就有质的减少。下面我们就详细的说说普通幂算法与快速幂算法之间的区别。
快速幂算法
分类情况
当n为2的幂时
比如n = 64 
其实就是使用了倍增原理，最后时间复杂就由原来的O(n) 变成了 O(logn):
当n不为2的幂
比如n = 105 我们可以将105拆分成多个2的幂的和，105 = 1 + 8 + 32 + 64，那么我们就可以转换成：
接下来说一下代码
代码解析
下面是段伪代码：（大家可以看b站那个，讲的是真的好，资料在下面）
- 第一部分： 遍历多少次其实就与这个n有关，我们将n转换成二进制，二进制的长度就是遍历的次数，每一次遍历完成就除2
- 第二部分： 主要就为了记录一下（我理解的是记录）a在每次遍历完后的值，
- 第三部分： 计算幂，当二进制的结尾为1时，我们就将之前记录的a进行相乘。
最后我们可以将代码转换成位与运算：
快速幂算法的应用
快速幂取模
计算a^n mod m
计算斐波那契数列第n项
斐波那契数列是我们学习递归的一个典型案例，什么是斐波那契数列呢：下面的队列就是：【0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，。。】其规律就是f(n) = f(n-1)+f(n-2); 那么我们怎么使用快速幂解决呢？
将线性变换重复n次 （暂未明白）
练一练
java
package 蓝桥杯2023;
import java.util.Scanner;
/**
* 有多少个x 与 a^b 互为质数
* 结果取模998244353
*
* 输入 a b
* @author colir
*
*/
public class 互质数的个数 {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
long a = scanner.nextLong();
long b = scanner.nextLong();
scanner.close();
long res = eulerFunction(a);
res = (res*fastpow(a, b-1)) % 998244353;
System.out.println(res);
}
// 计算互质的个数------ 欧拉函数
private static long eulerFunction(long a) {
long res = a;
for (int i = 2; i <= a/i; i++) {
if (a % i == 0) {
res = res / i * (i-1);
while (a % i ==0) {
a /= i;
}
}
}
if (a > 1) {
res = res / a * (a-1);
}
return res;
}
// 快速幂算法
private static long fastpow(long a,long b) {
long res = 1;
while(b > 0) {
if ((b & 1) > 0) {
res = (res * a) % 998244353;
}
a = (a * a) % 998244353;
b >>= 1;
}
return res;
}
}资料
笔记来源：