普通幂算法

我们在计算的 a^n 的时候，其实就是n个a相乘，那么我们就是需要遍历n遍，时间复杂度就是O(n)。别想着这不是很简单？其实当n值较小的时候，并没有很大的区别，但是当n值特别大时，这计算时间就得"等到天黑了"。而采用快速幂算法就不一样了

看这个遍历次数就有质的减少。下面我们就详细的说说普通幂算法与快速幂算法之间的区别。

快速幂算法

分类情况

当n为2的幂时

比如n = 64 其实就是使用了倍增原理，最后时间复杂就由原来的O(n) 变成了 O(logn):

当n不为2的幂

比如n = 105 我们可以将105拆分成多个2的幂的和，105 = 1 + 8 + 32 + 64，那么我们就可以转换成：

接下来说一下代码

代码解析

下面是段伪代码：（大家可以看b站那个，讲的是真的好，资料在下面）

第一部分：遍历多少次其实就与这个n有关，我们将n转换成二进制，二进制的长度就是遍历的次数，每一次遍历完成就除2
第二部分：主要就为了记录一下（我理解的是记录）a在每次遍历完后的值，
第三部分：计算幂，当二进制的结尾为1时，我们就将之前记录的a进行相乘。

最后我们可以将代码转换成位与运算：

快速幂算法的应用

快速幂取模

计算a^n mod m

计算斐波那契数列第n项

斐波那契数列是我们学习递归的一个典型案例，什么是斐波那契数列呢：下面的队列就是：【0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，。。】其规律就是f(n) = f(n-1)+f(n-2); 那么我们怎么使用快速幂解决呢？

将线性变换重复n次（暂未明白）

练一练

0互质数的个数 - 蓝桥云课 (lanqiao.cn)

java 复制代码

package 蓝桥杯2023;

import java.util.Scanner;

/**
 * 有多少个x 与 a^b 互为质数
 * 结果取模998244353 
 * 
 * 输入 a b 
 * @author colir
 *
 */
public class 互质数的个数 {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner scanner = new Scanner(System.in);
		long a = scanner.nextLong();
		long b = scanner.nextLong();
		scanner.close();
		long res = eulerFunction(a);
		res = (res*fastpow(a, b-1)) % 998244353;
		System.out.println(res);
	}
	// 计算互质的个数------ 欧拉函数
	private static long eulerFunction(long a) {
		long res = a;
		for (int i = 2; i <= a/i; i++) {
			if (a % i == 0) {
				res = res / i * (i-1);
				while (a % i ==0) {
					a /= i;
				}
			}
		}
		if (a > 1) {
			res = res / a * (a-1);
		}
		return res;
	}
	// 快速幂算法
	private static long fastpow(long a,long b) {
		long res = 1;
		while(b > 0) {
			if ((b & 1) > 0) {
				res = (res * a) % 998244353;
			}
			a = (a * a) % 998244353;
			b >>=  1;
		}
		return res;
	}
}

0完美队列的数目 - 蓝桥云课 (lanqiao.cn)

资料

笔记来源：

快速幂都能做什么？小小的算法也有大大的梦想_哔哩哔哩_bilibili

【快速幂算法】考一次忘一次，这六到爆的方法不能再忘了。