【算法刷题 | 回溯思想 01】4.11（回溯算法理论、组合、组合总和 || ）

文章目录

回溯
1.回溯算法理论基础
2.组合
[3.组合总和 |||](#3.组合总和 |||)

回溯

1.回溯算法理论基础

1.1什么是回溯法？

回溯法也可以叫做回溯搜索法，它是一种搜索的方式。
回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯。

1.2回溯法的效率

虽然回溯法很难，很不好理解，但是回溯法并不是什么高效的算法。
因为回溯的本质是穷举，穷举所有可能，然后选出我们想要的答案，如果想让回溯法高效一些，可以加一些剪枝的操作，但也改不了回溯法就是穷举的本质。

1.3回溯法解决的问题

组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
棋盘问题：N皇后，解数独等等

补充：组合是不强调元素顺序的，排列是强调元素顺序。

例如：{1, 2} 和 {2, 1} 在组合上，就是一个集合，因为不强调顺序，而要是排列的话，{1, 2} 和 {2, 1} 就是两个集合了。

1.4如何理解回溯法？

回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构
因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度就构成了树的深度。
递归就要有终止条件，所以必然是一棵高度有限的树（N叉树）。

1.5回溯法模板

回溯三部曲：
- 回溯函数模板返回值以及参数（回溯算法中函数返回值一般为void）
- 回溯函数终止条件：（搜到叶子节点了，也就找到了满足条件的一条答案，把这个答案存放起来，并结束本层递归。）
```
if (终止条件) {
    存放结果;
    return;
}
```
- 回溯搜索的遍历过程（回溯法一般是在集合中递归搜索，集合的大小构成了树的宽度，递归的深度构成的树的深度）
```
for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
    处理节点;
    backtracking(路径，选择列表); // 递归
    回溯，撤销处理结果
}
```
  - for循环就是遍历集合区间，可以理解一个节点有多少个孩子，这个for循环就执行多少次。
  - 大家可以从图中看出for循环可以理解是横向遍历，backtracking（递归）就是纵向遍历，这样就把这棵树全遍历完了，一般来说，搜索叶子节点就是找的其中一个结果了。

回溯算法模板框架：

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

2.组合

2.1问题

给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。

你可以按 任何顺序 返回答案。

示例一：

输入：n = 4, k = 2
输出：
[
[2,4],
[3,4],
[2,3],
[1,2],
[1,3],
[1,4],
]
示例二：

输入：n = 1, k = 1
输出：[[1]]

2.2解法一：暴力解法（循环次数不确定）

使用for循环，例如示例中k为2，很容易想到用两个for循环，这样就可以输出和示例中一样的结果。
c 复制代码
```
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
        cout << i << " " << j << endl;
    }
}
```
如果n为100，k为50呢，那就50层for循环，循环写不出来

2.3解法二：回溯

2.3.1回溯思路

分解成一层一层的树形结构：

使用res存放全部合适的结果；
使用paths存放当前的路径；

（1）回溯函数模板返回值以及参数

回溯函数返回值一般为void；
参数：
- 题目要求求范围[1,n]中所有可能的k个数的组合；
- 参数有 n、k
- 还要有一个startIndex，代表每次循环从数组第几个数开始遍历

java 复制代码

private void backtracking(int n,int k,int startIndex)

（2）回溯函数终止条件

当当前路径 path 的个数达到k时，添加到res中

java 复制代码

if(paths.size()==k){
    res.add(paths);
	return;	
}

（3）回溯搜索的遍历过程

从startIndex遍历该层的元素

java 复制代码

for(int i=startIndex;i<=n;i++){
	paths.add(i);
    //递归
    backtracking(n,k,i+1);
    //回溯
    paths.remove(paths.size()-1);
}

2.3.2代码实现

java 复制代码

	List<List<Integer>> res=new ArrayList<>();
    List<Integer> paths=new ArrayList<>();
    
    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
        
        backtracking(n,k,1);
        return res;
    }

    private void backtracking(int n,int k,int startIndex){
        if(paths.size()==k){
            res.add(new ArrayList<>(paths));
	        return;	
        }

        for(int i=startIndex;i<=n;i++){
	        paths.add(i);
            //递归
            backtracking(n,k,i+1);
            //回溯
            paths.remove(paths.size()-1);
        }
    }

2.3.3剪枝操作

回溯法虽然是暴力搜索，但也有时候可以有点剪枝优化一下的

遍历代码如下：

java 复制代码

for(int i=startIndex;i<=n;i++){
    
	paths.add(i);
    //递归
    backtracking(n,k,i+1);
    //回溯
    paths.remove(paths.size()-1);
}

这个遍历的范围是可以剪枝优化的，怎么优化呢？
- 来举一个例子，n = 4，k = 4 的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了。在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。
- 如果for循环选择的起始位置之后的元素个数已经不足我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。
优化过程如下：
- 已经选择的元素个数：path.size();
- 还需要的元素个数为: k - path.size();
- 在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历
为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。
举个例子，n = 4，k = 3，目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。
从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。

java 复制代码

for(int i=startIndex;i<= n - (k - paths.size()) + 1;i++){
	paths.add(i);
    //递归
    backtracking(n,k,i+1);
    //回溯
    paths.remove(paths.size()-1);
}

3.组合总和 |||

3.1问题

找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合，且满足下列条件：

只使用数字1到9
每个数字 最多使用一次

返回 所有可能的有效组合的列表 。该列表不能包含相同的组合两次，组合可以以任何顺序返回。

示例一：

输入: k = 3, n = 7
输出: [[1,2,4]]
解释:
1 + 2 + 4 = 7
没有其他符合的组合了。

3.2解法：回溯

3.2.1回溯思路

（1）函数返回值以及参数

无返回值
参数：
- k：总共需要k个数
- n：总和为n
- startIndex：从startIndex开始遍历
- count：当前路径总和

java 复制代码

private void backtracking(int k,int n,int startIndex,int count)

（2）终止条件

判断路径个数是否为k，路径总和是否为n，满足则添加到res中并返回

java 复制代码

if( paths.size()==k ){
	if(count==n){
    	res.add(new ArrayList<>(paths));   
    }
	return;	
}

（3）遍历过程

从startIndex开始递归（paths加上该节点、count总和加上）
递归后回溯（paths移除最后一个节点、count总和减去该节点值）

java 复制代码

for(int i=startIndex;i<=9;i++){
    
	paths.add(i);
    //递归
    backtracking(k,n,i+1,count+=i);
    
    //回溯
    paths.remove(paths.size()-1);
    count-=i;
}

3.2.2代码实现

java 复制代码

	List<List<Integer>> res=new ArrayList<>();
    List<Integer> paths=new ArrayList<>();

    public List<List<Integer>> combinationSum3(int k, int n) {
        backtracking(k,n,1,0);
        return res;
    }

    private void backtracking(int k,int n,int startIndex,int count){
        if( paths.size()==k ){
            if(count==n){
                res.add(new ArrayList<>(paths));   
            }
	        return;	
        }

        for(int i=startIndex;i<=9;i++){
	        paths.add(i);
            //递归
            backtracking(k,n,i+1,count+=i);
            //回溯
            paths.remove(paths.size()-1);
            count-=i;
        }
    }

3.2.3剪枝操作

java 复制代码

		for(int i=startIndex;i<= 9-(k-paths.size())+1 ;i++){
	        paths.add(i);
            //递归
            backtracking(k,n,i+1,count+=i);
            //回溯
            paths.remove(paths.size()-1);
            count-=i;
        }

【算法刷题 | 回溯思想 01】4.11（回溯算法理论、组合、组合总和 ||| ）

文章目录

回溯

1.回溯算法理论基础

1.1什么是回溯法？

1.2回溯法的效率

1.3回溯法解决的问题

1.4如何理解回溯法？

1.5回溯法模板

2.组合

2.1问题

2.2解法一：暴力解法（循环次数不确定）

2.3解法二：回溯

2.3.1回溯思路

（1）回溯函数模板返回值以及参数

（2）回溯函数终止条件

（3）回溯搜索的遍历过程

2.3.2代码实现

2.3.3剪枝操作

3.组合总和 |||

3.1问题

3.2解法：回溯

3.2.1回溯思路

（1）函数返回值以及参数

（2）终止条件

（3）遍历过程

3.2.2代码实现

3.2.3剪枝操作