我们知道二分查找算法。二分查找是最容易正确的算法。我提出了一些我在二分搜索中收集的有趣问题。有一些关于二分搜索的请求。我请求您遵守准则："我真诚地尝试解决问题并确保不存在极端情况"。阅读完每个问题后，最小化浏览器并尝试解决它。
**问题陈述：**给定一个由 N 个不同元素组成的排序数组，使用最少的比较次数在数组中找到一个键。 （您认为二分搜索是在排序数组中搜索键的最佳选择吗？）无需太多理论，这里是典型的二分搜索算法。
Returns location of key, or -1 if not found
def BinarySearch(A, l, r, key):
while (l < r):
m = l + (r - l) // 2
if A[m] == key: #first comparison
return m
if A[m] < key: # second comparison
l = m + 1
else:
r = m - 1
return -1
""" This code is contributed by Rajat Kumar """
理论上，最坏情况下我们需要进行log N + 1次比较。如果我们观察的话，我们会在每次迭代中使用两次比较，除非最终成功匹配（如果有）。在实践中，比较将是昂贵的操作，它不仅仅是原始类型比较。尽量减少与理论极限的比较更为经济。请参阅下图，了解下一个实现中索引的初始化。
以下实现使用较少的比较次数。
Invariant: A[l] <= key and A[r] > key
Boundary: |r - l| = 1
Input: A[l .... r-1]
def BinarySearch(A, l, r, key):
while (r-l > 1):
m = l+(r-l)//2
if A[m] <= key:
l = m
else:
r = m
if A[l] == key:
return l
if A[r] == key:
return r
return -1
""" Code is written by Rajat Kumar"""
在 while 循环中，我们仅依赖于一次比较。搜索空间收敛到将l和r指向两个不同的连续元素。我们需要再进行一次比较来跟踪搜索状态。您可以查看示例测试用例http://ideone.com/76bad0。 （C++11 代码）。
问题陈述： 给定一个由 N 个不同整数组成的数组，找到输入"key"的下限值。假设 A = {-1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10} 且 key = 7，我们应该返回 6 作为结果。我们可以使用上面的优化实现来找到键的下限值。只要不变量成立，我们就不断地将左指针移到最右边。最终左指针指向小于或等于 key 的元素（根据定义下限值）。以下是可能的极端情况， ---> 如果数组中的所有元素都小于 key，则左指针移动到最后一个元素。 ---> 如果数组中的所有元素都大于 key，则为错误情况。 ---> 如果数组中的所有元素都相等且 <= key，则这是我们实现的最坏情况输入。
这是示例：
largest value <= key
Invariant: A[l] <= key and A[r] > key
Boundary: |r - l| = 1
Input: A[l .... r-1]
Precondition: A[l] <= key <= A[r]
def Floor(A,l,r,key):
while (r-l>1):
m=l+(r-l)//2
if A[m]<=key:
l=m
else:
r=m
return A[l]
Initial call
def Floor(A,size,key):
Add error checking if key < A[0]
if key<A[0]:
return -1
Observe boundaries
return Floor(A,0,size,key)
"""Code is written by Rajat Kumar"""
您可以看到一些测试用例http://ideone.com/z0Kx4a。
问题陈述： 给定一个可能有重复元素的排序数组。查找log N时间内输入"key"出现的次数。这里的想法是使用二分搜索查找数组中最左边和最右边出现的键。我们可以修改底函数来跟踪最右边的出现和最左边的出现。
这是示例：
Input: Indices Range [l ... r)
Invariant: A[l] <= key and A[r] > key
def GetRightPosition(A,l,r,key):
while r-l>1:
m=l+(r-l)//2
if A[m]<=key:
l=m
else:
r=m
return l
Input: Indices Range (l ... r]
Invariant: A[r] >= key and A[l] > key
def GetLeftPosition(A,l,r,key):
while r-l>1:
m=l+(r-l)//2
if A[m]>=key:
r=m
else:
l=m
return r
def countOccurrences(A,size,key):
#Observe boundary conditions
left=GetLeftPosition(A,-1,size-1,key)
right=GetRightPosition(A,0,size,key)
What if the element doesn't exists in the array?
The checks helps to trace that element exists
if A[left]==key and key==A[right]:
return right-left+1
return 0
"""Code is written by Rajat Kumar"""
示例代码 zn6R6a - Online C++0x Compiler & Debugging Tool - Ideone.com。
问题陈述： 给定一个由不同元素组成的排序数组，并且该数组在未知位置旋转。找到数组中的最小元素。我们可以在下图中看到示例输入数组的图示。
我们收敛搜索空间直到l和r 指向单个元素。如果中间位置落在第一个脉冲中，则不满足条件 A[m] < A[r]，我们将搜索空间收敛到 A[m+1 ... r]。如果中间位置落在第二个脉冲中，则满足条件 A[m] < A[r]，我们将搜索空间收敛到 A[1 ... m]。在每次迭代中，我们都会检查搜索空间大小，如果它是 1，我们就完成了。
下面给出的是算法的实现。 你能想出不同的实施方案吗？
def BinarySearchIndexOfMinimumRotatedArray(A, l, r):
extreme condition, size zero or size two
Precondition: A[l] > A[r]
if A[l] >= A[r]:
return l
while (l <= r):
Termination condition (l will eventually falls on r, and r always
point minimum possible value)
if l == r:
return l
m = l+(r-l)//2 # 'm' can fall in first pulse,
second pulse or exactly in the middle
if A[m] < A[r]:
min can't be in the range
(m < i <= r), we can exclude A[m+1 ... r]
r = m
else:
min must be in the range (m < i <= r),
we must search in A[m+1 ... r]
l = m+1
return -1
def BinarySearchIndexOfMinimumRotatedArray(A, size):
return BinarySearchIndexOfMinimumRotatedArray(A, 0, size-1)
"""Code is written by Rajat Kumar"""
请参阅示例测试用例 KbwDrk - Online C++0x Compiler & Debugging Tool - Ideone.com。
练习：
- 称为signum(x, y)的函数 定义为，
Signum(x, y) = -1 如果 x < y
= 0 如果 x = y
= 1 如果 x > y
您是否遇到过比较行为类似于符号函数的指令集？它能让二分搜索的第一个实现变得最优吗？
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实现floor函数的ceil函数复制品。
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与你的朋友讨论"二分查找是否是最优的（比较次数最少）？为什么不在排序数组上进行三元搜索或插值搜索？与二分搜索相比，您什么时候更喜欢三元搜索或插值搜索？"
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画出二分搜索的树表示（相信我，这对你理解二分搜索的内部原理有很大帮助）。