【每日一题】补档 CF1065 C. Make It Equal | 思维 | 中等

题目内容

原题链接

给定一个长度为 n n n 的数组 a a a ，每次操作可以选择一个数 x x x ，将所有大于 x x x 的数都下降为 x x x ，一次操作的下降总代价为 s s s ，要求 s ≤ k s\leq k s≤k ，问需要多少次操作使得数组 a a a 的所有数都相同。

数据范围

• 1 ≤ n ≤ 2 ⋅ 1 0 5 1\leq n\leq 2\cdot 10^5 1≤n≤2⋅105
• n ≤ k ≤ 1 0 9 n\leq k\leq 10^9 n≤k≤109
• 1 ≤ a i ≤ 2 ⋅ 1 0 5 1\leq a_i\leq 2\cdot 10^5 1≤ai≤2⋅105

题解

朴素做法

首先使得所有数都相同，则使得所有值都成为 m i n ( a ) min(a) min(a) 。

所以考虑怎么将所有数都变成 m i n ( a ) min(a) min(a) 。

先对 a a a 排序，然后从最大的数开始依次将前面大的数往小了降。

从大的值开始往下依次枚举，看每次的 k k k 可以将前面多少数统一下降为一个数。

因为值域很小，所以可以直接枚举值域，这样的时间复杂度是 O ( m a x ( a ) + n ) O(max(a)+n) O(max(a)+n)

优化做法

如果值域很大，是否有与值域无关的做法。

其实这种题本身就应该值域无关，考虑当前最大的数为 c u r cur cur ，有 c n t cnt cnt 个值为 c u r cur cur 的数，下一步变成一个大于 a [ j ] a[j] a[j] 的最小的数 n x t nxt nxt。

那么就有 ( c u r − n x t ) × c n t (cur-nxt)\times cnt (cur−nxt)×cnt 的代价将所有的 c u r cur cur 变成 n x t nxt nxt 。

所有相邻元素如果差距过大，考虑将统一下降的部分额外操作出来，保证我们每次循环的开始都是先用一个操作将整体的数做下降。

这样可以保证一次遍历就可以将所有元素都变成 m i n ( a ) min(a) min(a) 。

时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

void solve() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;

    vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> a[i];

    sort(a.begin(), a.end(), greater<>());
    if (a.back() == a.front()) {
        cout << "0\n";
        return;
    }

    // 一次 k 能够支撑多少元素下降
    ll ans = 0;
    ll pre = 0;
    ll cnt = 0;
    ll cur = -1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        ll s = k;
        // 第一个 s 到某个 a[j - 1]
        int j = i;
        while (j < n && pre - cnt * a[j] <= s) {
            cur = a[j];
            pre += a[j];
            cnt += 1;
            j += 1;
        }

        // pre 肯定是一个统一的值
        if (j > i) {
            s -= pre - cnt * a[j - 1];
            // 然后把剩下部分给整了
            ll dec = s / cnt;
            cur = a[j - 1] - dec;
            pre = cur * cnt;
            ans += 1;
        }

        // pre -> a[j - 1]
        if (j < n) {
            ll single_op = k / cnt;
            ll single_decrease = single_op * cnt;
            ll cnt_op = (cur - a[j] - 1) * cnt / single_decrease;
            ans += cnt_op;
            cur = cur - cnt_op * single_op;
            pre = cur * cnt;
        }

        i = j - 1;
    }

    cout << ans << "\n";
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int T = 1;
    //cin >> T;
    while (T--) {
        solve();
    }

    return 0;
}