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本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用
中值定理、反函数定理
定理：Rolle（罗尔）中值定理
设实值函数 f ∈ C 0 [ a , b ] f\in C^0[a,b] f∈C0[a,b] 且在 ( a , b ) (a,b) (a,b) 上可微，若 f ( a ) = f ( b ) f(a)=f(b) f(a)=f(b)，则存在 x 0 ∈ ( a , b ) x_0\in(a,b) x0∈(a,b)，使得 f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0)=0 f′(x0)=0
证明
设 f f f 非常值函数，设 x 0 x_0 x0 是 f ( x ) f(x) f(x) 的最大值，则 f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0)=0 f′(x0)=0
定理：Lagrange（拉格朗日）中值定理
设实值函数 f ∈ C 0 [ a , b ] f\in C^0[a,b] f∈C0[a,b] 且在 ( a , b ) (a,b) (a,b) 上可微，则存在 x 0 ∈ ( a , b ) x_0\in(a,b) x0∈(a,b)，使得 f ′ ( x 0 ) = f ( b ) − f ( a ) b − a f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} f′(x0)=b−af(b)−f(a)
证明思路
构造辅助函数 g ( x ) = f ( x ) − f ( b ) − f ( a ) b − a ( x − a ) g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) g(x)=f(x)−b−af(b)−f(a)(x−a) 以及Rolle中值定理可得
定理：Cauchy中值定理
设实值函数 f , g ∈ C 0 [ a , b ] f,g\in C^0[a,b] f,g∈C0[a,b]，且 f , g f,g f,g 在 ( a , b ) (a,b) (a,b) 上均可微，设对任意的 x ∈ ( a , b ) , g ′ ( x ) ≠ 0 x\in(a,b),g'(x)\neq 0 x∈(a,b),g′(x)=0，则存在 x 0 ∈ ( a , b ) x_0\in(a,b) x0∈(a,b)，使得
f ′ ( x 0 ) g ′ ( x 0 ) = f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} g′(x0)f′(x0)=g(b)−g(a)f(b)−f(a)
证明思路
法1：构造辅助函数 F ( x ) = f ( x ) − f ( a ) − f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) ( g ( x ) − g ( a ) ) F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a)) F(x)=f(x)−f(a)−g(b)−g(a)f(b)−f(a)(g(x)−g(a))
注意到 F ( a ) = F ( b ) = 0 F(a)=F(b)=0 F(a)=F(b)=0，使用Rolle中值定理即得
法2：由 g ′ ( x ) ≠ 0 g'(x)\neq 0 g′(x)=0，故 g : I = [ a , b ] → J = [ g ( a ) , g ( b ) ] g:I=[a,b]\to J=[g(a),g(b)] g:I=[a,b]→J=[g(a),g(b)] 是同胚，
考虑映射 f ∘ g − 1 : J → Y f\circ g^{-1}:J\to Y f∘g−1:J→Y，存在 c ∈ J c\in J c∈J，使得
f ∘ g − 1 ( g ( a ) ) − f ∘ g − 1 ( g ( b ) ) g ( a ) − g ( b ) = ( f ∘ g − 1 ) ′ ( c ) \frac{f\circ g^{-1}(g(a))-f\circ g^{-1}(g(b))}{g(a)-g(b)}=(f\circ g^{-1})'(c) g(a)−g(b)f∘g−1(g(a))−f∘g−1(g(b))=(f∘g−1)′(c)
注：Cauchy中值定理的几何直观
考虑如下的向量值函数 F : [ a , b ] → R , x ↦ ( f ( x ) g ( x ) ) F:[a,b]\to\mathbb{R},x\mapsto \begin{pmatrix} f(x)\\g(x)\\ \end{pmatrix} F:[a,b]→R,x↦(f(x)g(x))
Cauchy中值定理说的是存在曲线上一点 x 0 x_0 x0，使得其切线方向 F ′ ( x 0 ) F'(x_0) F′(x0) 与两个端点的连线 ( f ( b ) g ( b ) ) − ( f ( a ) g ( a ) ) \begin{pmatrix} f(b)\\g(b)\\ \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} f(a)\\g(a)\\ \end{pmatrix} (f(b)g(b))−(f(a)g(a)) 是同方向的
也可以这么理解：考虑单位圆上的切线方向函数
F ^ : [ a , b ] → S 1 , x ↦ ( g ′ ( x ) , f ′ ( x ) ) f ′ ( x ) 2 + g ′ ( x ) 2 \hat{F}:[a,b]\to S^1,x\mapsto \frac{(g'(x),f'(x))}{\sqrt{f'(x)^2+g'(x)^2}} F^:[a,b]→S1,x↦f′(x)2+g′(x)2 (g′(x),f′(x))
Cauchy中值定理说的是对单位圆上任意一点的切线方向，总可以找到圆上两点
( g ( b ) g ( b ) 2 + f ( b ) 2 , f ( b ) g ( b ) 2 + f ( b ) 2 ) (\frac{g(b)}{\sqrt{g(b)^2+f(b)^2}},\frac{f(b)}{\sqrt{g(b)^2+f(b)^2}}) (g(b)2+f(b)2 g(b),g(b)2+f(b)2 f(b)) ( g ( a ) g ( a ) 2 + f ( a ) 2 , f ( a ) g ( a ) 2 + f ( a ) 2 ) (\frac{g(a)}{\sqrt{g(a)^2+f(a)^2}},\frac{f(a)}{g(a)^2+f(a)^2}) (g(a)2+f(a)2 g(a),g(a)2+f(a)2f(a)) 使得它们的连线方向与其相同
定理：反函数定理
设开区间 I ⊂ R I\subset \mathbb{R} I⊂R， f ∈ C 1 ( I ; R ) f\in C^1(I;\mathbb{R}) f∈C1(I;R)，即连续可微的实值函数，若 f ′ ( x 0 ) ≠ 0 f'(x_0)\neq 0 f′(x0)=0，那么 f f f 在 x 0 x_0 x0 的一个邻域内是 C 1 C^1 C1 同胚，即 f f f 在 x 0 x_0 x0 的某邻域内是有连续逆的双射
证明思路
不妨设 f ′ ( x 0 ) > 0 f'(x_0)>0 f′(x0)>0，则在 x 0 x_0 x0 附近 f ′ ( x 0 ) > 0 f'(x_0)>0 f′(x0)>0，则 f f f 严格单调递增，则 f − 1 f^{-1} f−1 存在且可微，又
( f − 1 ) ′ ( y ) = 1 f ′ ( f − 1 ( y ) ) (f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))} (f−1)′(y)=f′(f−1(y))1 说明 f − 1 f^{-1} f−1 连续可微
推论
上述定理若进一步要求 f f f 是光滑的（即无限次可微），则 f − 1 f^{-1} f−1 也光滑
参考书：
- 《数学分析》陈纪修 於崇华 金路
- 《数学分析之课程讲义》清华大学数学系及丘成桐数学中心
- 《数学分析习题课讲义》谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边 著