算法练习（2）——约瑟夫环和坐标公式的推导

^芋泥奶茶^2024-04-24 9:01

看一下上面的牛客题。题目的意思是n个小朋友围成一个圆环，编号从0开始，数m个数时，让小朋友出列，然后出列小朋友的下一个位置为0，继续数m个数，然后小朋友出来，直到最后一个小朋友，然后返回下标。

这个题目就是约瑟夫环问题，我们解决这个问题有很多种方法，比如数组，链表模拟过程来写。我们今天用动态规划来写这个题目，并且推到一下这个题目的一个坐标公式。

公式推导

我们先表示一下我们要求的问题：

接着就是列写转移方程：

我们就是要求 dp $n$ 与 dp $n-1$ 的关系。

我们表示一下紫色和绿色，

因为紫色减去 m-1 位置，得到了绿色，所以 dp $n$ 为紫色，dp $n-1$ 为绿色。

因为dp $n$ 表示n个孩子围成一圈时，最后一个孩子的坐标。又因为紫色和绿色的m相同，所以，紫色和绿色的结果最后是一样的，即 dp $n$ 和dp $n-1$ 的值是一样的。

我们接下来找紫色和绿色的关系，从上图可以看到，绿色的下标+m就是紫色的下标（紫色0位置看的清楚）。所以，我们得到下面的式子：

我们最后考虑一下极端情况，如果绿色的值+m后的值大于n的话，我们就要把这个值给矫正，怎么矫正呢？就是%n。

所以，我们就得到了最后的式子：

于是，我们把 f(n,m)=(f(n-1,m)+m)%n叫做坐标公式，其中 f(n,m)表示n个数据，把第m个数据清除，留下最后一个数据的编号。

代码

复制代码

int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
        int ans=0;//ans表示dp[1]
        for(size_t i=2;i<=n;++i)
        {
            ans=(ans+m)%i;
        }
        return ans;
    }

今天就是这样了，我还得继续加油！！！