【算法模板】数学基础算法模版

SuhyOvO2024-04-29 10:36

文章目录

数学基础

试除法判定质数

试除法是判断一个数是否为质数的常见方法。它的核心思想是，将该数从2开始，逐个尝试除以小于等于其平方根的整数。如果在这些尝试中有任何一个整数整除这个数，那么这个数就不是质数；否则，这个数就是质数。

算法思路：

  1. 如果数字小于2，直接返回False，因为质数从2开始。
  2. 从2开始，尝试除到小于等于该数平方根的每一个整数。
  3. 如果任何一个整数整除该数，则返回False，否则返回True。
cpp 复制代码 
bool is_prime(int x) {
    if (x < 2) return false;
    for (int i = 2; i <= x / i; i++)
        if (x % i == 0)
            return false;
    return true;
}

模板题 AcWing 866. 试除法判定质数

试除法分解质因数

试除法用于分解一个整数的质因数，并计算其质因数的次数。其思路是从2开始，逐个尝试整除，直到小于等于该数的平方根。

算法思路：

  1. 从2开始，尝试除到小于等于该数平方根的每一个整数。
  2. 如果该整数能够整除目标数，记录这个质因数以及它的出现次数，直到目标数不再可被整除。
  3. 如果经过所有检查后，目标数仍然大于1，那么该数也是质因数。
CPP 复制代码 
void divide(int x) {
    for (int i = 2; i <= x / i; i++)
        if (x % i == 0) {
            int s = 0;
            while (x % i == 0) x /= i, s++;
            cout << i << ' ' << s << endl;
        }
    if (x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl;
    cout << endl;
}

模板题 AcWing 867. 分解质因数

朴素筛法求素数

朴素筛法，又称埃拉托斯特尼筛法，适用于生成范围内所有素数的列表。其原理是从2开始，筛除每个素数的所有倍数。

算法思路：

  1. 创建一个布尔数组，用于标记数是否是素数，初始时全部设为True。
  2. 从2开始，如果该数没有被标记为非素数，则认为它是素数，并标记它的所有倍数为非素数。
  3. 重复以上步骤，直到到达范围上限。
CPP 复制代码 
int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
bool st[N];             // st[x]存储x是否被筛掉

void get_primes(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (st[i]) continue;
        primes[cnt++] = i;
        for (int j = i + i; j <= n; j += i)
            st[j] = true;
    }
}

模板题 AcWing 868. 筛质数

线性筛法求素数

线性筛法是对朴素筛法的改进，确保每个合数只被其最小质因子筛选一次。其优点在于复杂度更低，每个合数只被筛选一次。

算法思路：

  1. 创建一个布尔数组，用于标记数是否是素数。
  2. 从2开始，如果该数没有被标记为非素数，则添加到素数列表中。
  3. 对于每个素数，如果当前数乘以素数不超过范围上限，则标记其为非素数。若当前数被素数整除，停止进一步标记。
CPP 复制代码 
int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
bool st[N];             // st[x]存储x是否被筛掉

void get_primes(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++) {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

模板题 AcWing 868. 筛质数

试除法求所有约数

试除法用于求一个整数的所有约数。其思路是从1开始，逐个尝试到该数的平方根，找出所有的约数。

算法思路：

  1. 从1开始，尝试到小于等于该数平方根的每一个整数。
  2. 如果该整数能够整除目标数，则记录这个整数和相应的商。
  3. 返回所有找到的约数，并按从小到大的顺序排序。
CPP 复制代码 
vector<int> get_divisors(int x) {
    vector<int> res;
    for (int i = 1; i <= x / i; i++)
        if (x % i == 0) {
            res.push_back(i);
            if (i != x / i) res.push_back(x / i);
        }
    sort(res.begin(), res.end());
    return res;
}

模板题 AcWing 869. 试除法求约数

约数个数和约数之和

这两个公式用于计算一个数的所有约数的个数和它们的总和。算法基于该数的质因数分解。

算法思路：

  1. 首先对数进行质因数分解，获得每个质因数和对应的次数。
  2. 约数个数的计算：每个质因子的次数加1，然后所有质因子次数的乘积。
  3. 约数之和的计算：对于每个质因子，求其从0到对应的次数的幂之和，然后将所有质因子幂之和相乘。
CPP 复制代码 
// 如果 N = p1^c1 * p2^c2 * ... * pk^ck
// 约数个数： (c1 + 1) * (c2 + 1) * ... * (ck + 1)
// 约数之和： (p1^0 + p1^1 + ... + p1^c1) * ... * (pk^0 + pk^1 + ... + pk^ck)

关于取模

CPP 复制代码 
(a + b) % p = (a%p + b%p) %p 
(a - b) % p = (a%p - b%p) %p 
(a * b) % p = (a%p * b%p) %p

这是一个关于正整数因数分解的公式。在公式中，N是一个正整数，表示为质因数分解形式：N = p1^c1 * p2^c2 * ... * pk^ck，其中p1, p2, ..., pk是N的所有质因数，c1, c2, ..., ck分别是它们的对应指数。

根据你提供的公式：

  • N的约数个数可以通过公式 (c1 + 1) * (c2 + 1) * ... * (ck + 1) 来计算，即将每个质因数的指数加1后相乘得到约数个数。
  • N的约数之和可以通过公式 (p1^0 + p1^1 + ... + p1^c1) * ... * (pk^0 + pk^1 + ... + pk^ck) 来计算，即将每个质因数的幂次相加后相乘得到约数之和。

计算正整数N的约数个数

CPP 复制代码 
int numDivisors(int N) {
    int num = 1;
    for (int i = 2; i <= sqrt(N); i++) {
        int exp = 0;
        while (N % i == 0) {
            exp++;
            N /= i;
        }
        num *= (exp + 1);
    }
    if (N > 1) {
        num *= 2;
    }
    return num;
}

计算正整数N的约数之和

CPP 复制代码 
int sumOfDivisors(int N) {
    int sum = 1;
    for (int i = 2; i <= sqrt(N); i++) {
        if (N % i == 0) {
            int current_term = 1;
            int factor = 1;
            while (N % i == 0) {
                factor *= i;
                current_term += factor;
                N /= i;
            }
            sum *= current_term;
        }
    }
    if (N > 1) {
        sum *= (1 + N);
    }
    return sum;
}

模板题 AcWing 870. 约数个数, AcWing 871. 约数之和

欧几里得算法

欧几里得算法用于求解两个整数的最大公约数。它基于辗转相除的原则，即不断求解两个数的余数，直到余数为零。

算法思路:

  1. 给定两个整数a和b，如果b为零，则最大公约数是a。
  2. 否则，计算a除以b的余数，重新调用算法，用b和余数进行迭代。
  3. 直到余数为零，得到最大公约数。
CPP 复制代码 
int gcd(int a, int b) {
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

模板题 AcWing 872. 最大公约数

求欧拉函数

欧拉函数(\phi(x))用于计算小于等于x且与x互质的正整数的数量。计算欧拉函数通常需要质因数分解。

算法思路:

  1. 初始化结果为x。
  2. 从2开始，尝试整除目标数。如果能整除，则将结果乘以(1 - 1/p)。
  3. 对每个质因子，重复上述步骤，直到目标数被完全分解。
CPP 复制代码 
int phi(int x) {
    int res = x;
    for (int i = 2; i <= x / i; i++)
        if (x % i == 0) {
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
       if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
    return res;
}

模板题 AcWing 873. 欧拉函数

筛法求欧拉函数

筛法用于快速求解从1到某个范围内的所有欧拉函数。这种方法通过结合线性筛法来提高效率。

算法思路:

  1. 创建一个布尔数组，用于标记数是否是素数，并初始化一个数组存储欧拉函数值。
  2. 从2开始，如果该数没有被标记为非素数，则它是素数，并设置其欧拉函数值。
  3. 对于每个素数，计算其倍数的欧拉函数值，并根据质因子的关系调整欧拉函数值。
CPP 复制代码 
void get_eulers(int n) {
    euler[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!st[i]) {
            primes[cnt++] = i;
            euler[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++) {
            int t = primes[j] * i;
            st[t] = true;
            if (i % primes[j] == 0) {
                euler[t] = euler[i] * primes[j];
                break;
            }
            euler[t] = euler[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
}

模板题 AcWing 874. 筛法求欧拉函数

快速幂

快速幂算法用于快速计算(a^b \mod p)。其主要思想是通过二进制拆分幂次，以减少计算量。

算法思路:

  1. 初始化结果为1，并设置当前幂次。
  2. 根据k的二进制表示，对每一位进行判断。如果最低位为1，则将当前幂次乘到结果中。
  3. 将幂次平方，并右移二进制表示的最低位。
  4. 重复上述步骤，直到幂次完全被处理。
CPP 复制代码 
int qmi(int m, int k, int p) {
    int res = 1 % p, t = m;
    while (k) {
        if (k & 1) res = res * t % p;
        t = t * t % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

模板题 AcWing 875. 快速幂

扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法除了求解最大公约数，还能求得线性组合方程的整数解。其在求解一些数论和密码学问题时非常有用。

算法思路:

  1. 如果b为零，返回a作为最大公约数，同时设置x为1，y为0。
  2. 否则，递归调用算法，求解b和a % b的最大公约数，并交换x和y的顺序。
  3. 根据线性组合方程，调整x和y，以满足ax + by的关系。
CPP 复制代码 
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (!b) {
        x = 1; y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= (a / b) * x;
    return d;
}

模板题 AcWing 877. 扩展欧几里得算法

高斯消元解线性方程组

高斯消元算法用于求解线性方程组。它通过行列变换和消元来简化方程，最终获得解的形式。

算法思路:

  1. 通过行变换，将最大的系数移动到主对角线。
  2. 对于每个列，通过消元使得该列以下所有行的元素为零。
  3. 当完成所有列的操作后，若未完成所有行，则检测是否存在无解的情况。
  4. 对已消元的方程组，进行回代求解。
CPP 复制代码 
int gauss() {
    int c, r;
    for (c = 0, r = 0; c < n; c++) {
        int t = r;
        for (int i = r; i < n; i++)   // 找到绝对值最大的行
            if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
                t = i;

        if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;

        for (int i = c; i <= n; i++) swap(a[t][i], a[r][i]);      // 将绝对值最大的行换到最顶端
        for (int i = n; i >= c; i--) a[r][i] /= a[r][c];      // 将当前行的首位变成1
        for (int i = r + 1; i < n; i++)       // 用当前行将下面所有的列消成0
            if (fabs(a[i][c]) > eps)
                for (int j = n; j >= c; j--)
                    a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];

        r++;
    }

    if (r < n) {
        for (int i = r; i < n; i++)
            if (fabs(a[i][n]) > eps)
                return 2; // 无解
        return 1; // 有无穷多组解
    }

    for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
        for (int j = i + 1; j < n; j++)
            a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];

    return 0; // 有唯一解
}

模板题 AcWing 883. 高斯消元解线性方程组

递推法求组合数

递推法用于计算组合数。它利用递推关系，通过前序计算得出组合数的结果。

算法思路:

  1. 创建一个二维数组，存储组合数的计算结果。
  2. 通过递推关系，计算每一层的组合数。
  3. 遍历递推关系，填充组合数数组，直到计算出所有组合数。
CPP 复制代码 
for (int i = 0; i < N; i++)
    for (int j = 0; j <= i; j++)
        if (!j) c[i][j] = 1;
        else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;

模板题 AcWing 885. 求组合数 I

通过预处理逆元的方式求组合数

该方法使用快速幂计算逆元，以求出组合数的结果。它在模数情况下特别有用。

算法思路:

  1. 通过快速幂计算每个数的阶乘和阶乘的逆元。
  2. 使用组合数公式进行组合数的计算。
  3. 通过逆元的方式，避免直接除法操作。
CPP 复制代码 
int qmi(int a, int k, int p) {    // 快速幂模板
    int res = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
        a = (LL)a * a % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

// 预处理阶乘的余数和阶乘逆元的余数
fact[0] = infact[0] = 1;
for (int i = 1; i < N; i++) {
    fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod;
    infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod;
}

模板题 AcWing 886. 求组合数 II

Lucas定理

Lucas定理用于求组合数，并可应用于大数情况下的组合数计算。

算法思路:

  1. 将组合数按模数分解为若干部分。
  2. 使用递归和分治法计算每一部分的组合数。
  3. 最终将所有部分的组合数乘积，获得组合数的结果。
CPP 复制代码 
int qmi(int a, int k, int p) {  // 快速幂模板
    int res = 1 % p;
    while (k) {
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
        a = (LL)a * a % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

int C(int a, int b, int p) {  // 通过定理求组合数C(a, b)
    if (a < b) return 0;

    LL x = 1, y = 1;  // x是分子，y是分母
    for (int i = a, j = 1; j <= b; i--, j++) {
        x = (LL)x * i % p;
        y = (LL)y * j % p;
    }

    return x * (LL)qmi(y, p - 2, p) % p;
}

int lucas(LL a, LL b, int p) {
    if (a < p && b < p) return C(a, b, p);
    return (LL)C(a % p, b % p, p) * lucas(a / p, b / p, p) % p;
}

模板题 AcWing 887. 求组合数 III

分解质因数法求组合数

这种方法通过分解质因数的方式，求出组合数的真实值。

算法思路:

  1. 使用线性筛法，计算范围内的所有质数。
  2. 通过计算每个质因子的次数，求得组合数的质因数分解结果。
  3. 使用高精度乘法，将所有质因子按相应次数相乘，获得组合数的真实值。
CPP 复制代码 
当我们需要求出组合数的真实值，而非对某个数的余数时，分解质因数的方式比较好用：
    1. 筛法求出范围内的所有质数
    2. 通过 C(a, b) = a! / b! / (a - b)! 这个公式求出每个质因子的次数。 n! 中p的次数是 n / p + n / p^2 + n / p^3 + ...
    3. 用高精度乘法将所有质因子相乘

int primes[N], cnt;     // 存储所有质数
int sum[N];     // 存储每个质数的次数
bool st[N];     // 存储每个数是否已被筛掉


void get_primes(int n)      // 线性筛法求素数
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}


int get(int n, int p)       // 求n！中的次数
{
    int res = 0;
    while (n)
    {
        res += n / p;
        n /= p;
    }
    return res;
}


vector<int> mul(vector<int> a, int b)       // 高精度乘低精度模板
{
    vector<int> c;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < a.size(); i ++ )
    {
        t += a[i] * b;
        c.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    while (t)
    {
        c.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    return c;
}

get_primes(a);  // 预处理范围内的所有质数

for (int i = 0; i < cnt; i ++ )     // 求每个质因数的次数
{
    int p = primes[i];
    sum[i] = get(a, p) - get(b, p) - get(a - b, p);
}

vector<int> res;
res.push_back(1);

for (int i = 0; i < cnt; i ++ )     // 用高精度乘法将所有质因子相乘
    for (int j = 0; j < sum[i]; j ++ )
        res = mul(res, primes[i]);

模板题 AcWing 888. 求组合数 IV

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