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标签(题目类型)：树、递归、深度优先搜索
题目描述
text
给定两个二叉树，编写一个函数来检验它们是否相同。
如果两个树在结构上相同，并且节点具有相同的值，则认为它们是相同的。
示例 1:
输入: 1 1
/ \ / \
2 3 2 3
[1,2,3], [1,2,3]
输出: true
示例 2:
输入: 1 1
/ \
2 2
[1,2], [1,null,2]
输出: false
示例 3:
输入: 1 1
/ \ / \
2 1 1 2
[1,2,1], [1,1,2]
输出: false思路及实现
方式一：递归
思路
递归地比较两棵树的每个节点。如果两个节点都为空，则认为它们是相同的；如果只有一个节点为空，则认为它们不相同；如果两个节点都不为空，则需要比较它们的值和左右子树是否相同。
代码实现
Java版本
java
/**
* Definition for a binary tree node.
* public class TreeNode {
* int val;
* TreeNode left;
* TreeNode right;
* TreeNode(int x) { val = x; }
* }
*/
public class Solution {
public boolean isSameTree(TreeNode p, TreeNode q) {
// 如果两个节点都为空，则它们是相同的
if (p == null && q == null) {
return true;
}
// 如果只有一个节点为空，则它们不相同
if (p == null || q == null) {
return false;
}
// 如果两个节点都不为空，则比较它们的值和左右子树是否相同
return p.val == q.val && isSameTree(p.left, q.left) && isSameTree(p.right, q.right);
}
}说明：
使用递归的思想，当两棵树都为空时返回
true，当其中一个树为空而另一个不为空时返回false，否则递归比较它们的值和左右子树是否相同。
C语言版本
c
#include <stdbool.h>
// 定义二叉树节点结构体
struct TreeNode {
int val;
struct TreeNode *left;
struct TreeNode *right;
};
bool isSameTree(struct TreeNode* p, struct TreeNode* q) {
// 如果两个节点都为空，则它们是相同的
if (p == NULL && q == NULL) {
return true;
}
// 如果只有一个节点为空，则它们不相同
if (p == NULL || q == NULL) {
return false;
}
// 如果两个节点都不为空，则比较它们的值和左右子树是否相同
return p->val == q->val && isSameTree(p->left, q->left) && isSameTree(p->right, q->right);
}说明：
C语言版本和Java版本的核心思路是一致的，只是语法有所不同。
Python3版本
python
# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
# def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
# self.val = val
# self.left = left
# self.right = right
class Solution:
def isSameTree(self, p: TreeNode, q: TreeNode) -> bool:
# 如果两个节点都为空，则它们是相同的
if not p and not q:
return True
# 如果只有一个节点为空，则它们不相同
if not p or not q:
return False
# 如果两个节点都不为空，则比较它们的值和左右子树是否相同
return p.val == q.val and self.isSameTree(p.left, q.left) and self.isSameTree(p.right, q.right)说明：
Python3版本的代码结构和Java、C语言版本类似，使用了Python的递归调用。
Golang版本
go
package main```go
// Definition for a binary tree node.
type TreeNode struct {
Val int
Left *TreeNode
Right *TreeNode
}
func isSameTree(p *TreeNode, q *TreeNode) bool {
// 如果两个节点都为空，则它们是相同的
if p == nil && q == nil {
return true
}
// 如果只有一个节点为空，则它们不相同
if p == nil || q == nil {
return false
}
// 如果两个节点都不为空，则比较它们的值和左右子树是否相同
return p.Val == q.Val && isSameTree(p.Left, q.Left) && isSameTree(p.Right, q.Right)
}
func main() {
// 示例使用
// ...
}说明：
Golang版本的代码结构和之前版本类似，只是语法和类型定义有所不同。
复杂度分析
- 时间复杂度：O(n)，其中n是两棵树中节点的总数。这是因为每个节点都会被访问一次。
- 空间复杂度：O(h)，其中h是两棵树的高度。递归调用栈的深度最坏情况下等于树的高度。在平衡树中，空间复杂度为O(log n)；在最坏情况下（退化为链表），空间复杂度为O(n)。
方式二：迭代（使用队列或栈）
思路
迭代地比较两棵树的节点，使用队列或栈来辅助遍历。具体地，可以将两棵树的根节点入队或入栈，然后在循环中依次出队或出栈，比较当前节点的值，并将它们的左右子节点依次入队或入栈。如果任何时刻两个节点的值不相等，或者一个节点有子节点而另一个没有，则返回false。
代码实现
Java版本
java
import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;
public class Solution {
public boolean isSameTree(TreeNode p, TreeNode q) {
if (p == null && q == null) {
return true;
}
if (p == null || q == null) {
return false;
}
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(p);
queue.offer(q);
while (!queue.isEmpty()) {
TreeNode node1 = queue.poll();
TreeNode node2 = queue.poll();
if (node1 == null && node2 == null) {
continue;
}
if (node1 == null || node2 == null || node1.val != node2.val) {
return false;
}
queue.offer(node1.left);
queue.offer(node2.left);
queue.offer(node1.right);
queue.offer(node2.right);
}
return true;
}
}C语言版本
C语言实现迭代遍历树通常比递归实现复杂，因为需要手动维护栈或者使用循环和指针操作来模拟队列。由于C语言没有内置队列或栈，因此这里不展示C语言的迭代实现。
Python3版本
python
from collections import deque
class Solution:
def isSameTree(self, p: TreeNode, q: TreeNode) -> bool:
if not p and not q:
return True
if not p or not q:
return False
queue = deque([(p, q)])
while queue:
node1, node2 = queue.popleft()
if not node1 and not node2:
continue
if not node1 or not node2 or node1.val != node2.val:
return False
queue.append((node1.left, node2.left))
queue.append((node1.right, node2.right))
return TrueGolang版本
go
package main
import (
"container/list"
)
func isSameTree(p *TreeNode, q *TreeNode) bool {
if p == nil && q == nil {
return true
}
if p == nil || q == nil {
return false
}
queue := list.New()
queue.PushBack(p)
queue.PushBack(q)
for queue.Len() > 0 {
node1 := queue.Remove(queue.Front()).(*TreeNode)
node2 :=queue.Remove(queue.Front()).(*TreeNode)
if node1 == nil && node2 == nil {
continue
}
if node1 == nil || node2 == nil || node1.Val != node2.Val {
return false
}
queue.PushBack(node1.Left)
queue.PushBack(node2.Left)
queue.PushBack(node1.Right)
queue.PushBack(node2.Right)
}
return true
}
func main() {
// 示例使用
// ...
}复杂度分析
- 时间复杂度：O(n)，其中n是两棵树中节点的总数。因为每个节点只会被访问一次。
- 空间复杂度：O(n)，在最坏的情况下，如果两棵树都是完全二叉树，那么需要存储所有节点，因此空间复杂度为O(n)。如果使用平衡树，空间复杂度可以降低到O(log n)。但在平均情况下，空间复杂度仍然是O(n)。
总结：递归和迭代的方法都可以用来判断两棵树是否相同。递归方法简洁直观，但可能会因为栈空间限制而导致问题。迭代方法则通过显式维护一个队列或栈来遍历树，避免了递归调用栈的问题，但代码实现相对复杂一些。在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的方法。
方式三：使用集合（哈希表）
思路
使用集合（通常是哈希表）来存储其中一个树的节点值。然后遍历另一个树，检查每个节点的值是否都存在于集合中。如果存在，则从集合中移除该值；如果不存在，则返回false。最后，检查集合是否为空，如果为空则说明两个树是相同的，否则不同。
这种方法假设树中不包含重复值，因为集合不存储重复元素。如果树中允许重复值，那么这种方法就不适用，需要使用其他方法，比如使用计数器或更复杂的数据结构。
代码实现（含注释）
Java版本
java
class TreeNode {
int val;
TreeNode left;
TreeNode right;
TreeNode(int val) {
this.val = val;
}
}
public class Solution {
// 递归方式比较两棵树是否相同
public boolean isSameTree(TreeNode p, TreeNode q) {
// 如果两个节点都为空，则它们是相同的
if (p == null && q == null) {
return true;
}
// 如果只有一个节点为空，或者节点值不相等，则它们不是相同的
if (p == null || q == null || p.val != q.val) {
return false;
}
// 递归检查左子树和右子树是否相同
return isSameTree(p.left, q.left) && isSameTree(p.right, q.right);
}
// 使用集合的方式比较两棵树是否相同
public boolean isSameTreeHashSet(TreeNode p, TreeNode q) {
// 如果两个节点都为空，则它们是相同的
if (p == null && q == null) {
return true;
}
// 如果只有一个节点为空，或者节点值不相等，则它们不是相同的
if (p == null || q == null || p.val != q.val) {
return false;
}
// 创建一个HashSet用于存储节点值
Set<Integer> values = new HashSet<>();
// 遍历第一个树，并将节点值添加到集合中
traverse(p, values);
// 检查第二个树，同时从集合中移除已检查的节点值
return check(q, values) && values.isEmpty();
}
// 辅助方法：遍历树并将节点值添加到集合中
private void traverse(TreeNode node, Set<Integer> values) {
if (node == null) {
// 当前节点为空，返回上一层
return;
}
// 将当前节点值添加到集合中
values.add(node.val);
// 递归遍历左子树
traverse(node.left, values);
// 递归遍历右子树
traverse(node.right, values);
}
// 辅助方法：检查第二个树的节点值是否都在集合中，并从集合中移除已检查的节点值
private boolean check(TreeNode node, Set<Integer> values) {
if (node == null) {
// 当前节点为空，返回上一层
return true;
}
// 如果节点值不在集合中，则两棵树不相同
if (!values.contains(node.val)) {
return false;
}
// 从集合中移除已检查的节点值
values.remove(node.val);
// 递归检查左子树和右子树
return check(node.left, values) && check(node.right, values);
}
// 示例使用
public static void main(String[] args) {
// 创建两棵树的示例
TreeNode p = new TreeNode(1);
p.left = new TreeNode(2);
p.right = new TreeNode(3);
TreeNode q = new TreeNode(1);
q.left = new TreeNode(2);
q.right = new TreeNode(3);
Solution solution = new Solution();
// 使用递归方式比较
boolean isSameRecursive = solution.isSameTree(p, q);
System.out.println("递归方式比较结果: " + isSameRecursive);
// 使用集合方式比较
boolean isSameHashSet = solution.isSameTreeHashSet(p, q);
System.out.println("集合方式比较结果: " + isSameHashSet);
}
}代码说明：
-
isSameTree方法是递归方式比较两棵树是否相同的实现。它首先检查两个节点是否都为空，如果都为空，则它们是相同的。然后检查是否只有一个节点为空，或者节点值是否相等，如果不满足这些条件，则它们不是相同的。最后，递归地比较左子树和右子树。 -
isSameTreeHashSet方法是使用集合（HashSet）来比较两棵树是否相同的实现。它首先检查两个节点是否都为空，或者节点值是否相等。然后，它遍历第一个树，并将所有节点
C语言版本
c
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
typedef struct TreeNode {
int val;
struct TreeNode *left;
struct TreeNode *right;
} TreeNode;
// 创建新节点
TreeNode* createNode(int val) {
TreeNode* node = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));
node->val = val;
node->left = NULL;
node->right = NULL;
return node;
}
// 递归方式比较两棵树是否相同
bool isSameTree(TreeNode* p, TreeNode* q) {
// 如果两个节点都为空，则它们是相同的
if (p == NULL && q == NULL) {
return true;
}
// 如果只有一个节点为空，或者节点值不相等，则它们不是相同的
if (p == NULL || q == NULL || p->val != q->val) {
return false;
}
// 递归检查左子树和右子树是否相同
return isSameTree(p->left, q->left) && isSameTree(p->right, q->right);
}
// 示例使用
int main() {
// 创建两棵树的示例
TreeNode* p = createNode(1);
p->left = createNode(2);
p->right = createNode(3);
TreeNode* q = createNode(1);
q->left = createNode(2);
q->right = createNode(3);
bool isSame = isSameTree(p, q);
printf("两棵树是否相同: %s\n", isSame ? "是" : "否");
// 释放内存
// ... (需要编写相应的释放内存的代码)
return 0;
}代码说明
对于C语言版本，我们定义了一个
TreeNode结构体，并使用malloc为节点分配内存。isSameTree函数通过递归的方式比较两棵树是否相同。需要注意的是，在实际使用中，我们还需要编写额外的代码来释放分配给树节点的内存。
Python3版本
python
class TreeNode:
def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
self.val = val
self.left = left
self.right = right
def isSameTree(p: TreeNode, q: TreeNode) -> bool:
# 如果两个节点都为空，则它们是相同的
if not p and not q:
return True
# 如果只有一个节点为空，或者节点值不相等，则它们不是相同的
if not p or not q or p.val != q.val:
return False
# 递归检查左子树和右子树是否相同
return isSameTree(p.left, q.left) and isSameTree(p.right, q.right)
# 使用集合的方式
def isSameTreeHashSet(p: TreeNode, q: TreeNode) -> bool:
# 如果两个节点都为空，则它们是相同的
if not p and not q:
return True
# 如果只有一个节点为空，则它们不是相同的
if not p or not q:
return False
# 如果节点值不相等，则它们不是相同的
if p.val != q.val:
return False
# 使用集合存储第一个树的节点值
values = set()
# 辅助函数，用于遍历树并添加节点值到集合中
def traverse(node):
if not node:
return
values.add(node.val)
traverse(node.left)
traverse(node.right)
# 遍历第一个树，并将节点值添加到集合中
traverse(p)
# 遍历第二个树，检查每个节点值是否都在集合中
def check(node):
if not node:
return True
# 如果节点值不在集合中，返回False
if node.val not in values:
return False
# 从集合中移除已检查的节点值
values.remove(node.val)
# 递归检查左子树和右子树
return check(node.left) and check(node.right)
# 检查第二个树
return check(q) and not values # 确保集合为空，即第二个树中的所有节点值都被检查过Golang版本
go
package main
import (
"fmt"
)
type TreeNode struct {
Val int
Left *TreeNode
Right *TreeNode
}
// 递归方式比较两棵树是否相同
func isSameTree(p *TreeNode, q *TreeNode) bool {
// 如果两个节点都为nil，则它们是相同的
if p == nil && q == nil {
return true
}
// 如果只有一个节点为nil，或者节点值不相等，则它们不是相同的
if p == nil || q == nil || p.Val != q.Val {
return false
}
// 递归检查左子树和右子树是否相同
return isSameTree(p.Left, q.Left) && isSameTree(p.Right, q.Right)
}
// 示例使用
func main() {
// 创建两棵树的示例
p := &TreeNode{Val: 1}
p.Left = &TreeNode{Val: 2}
p.Right = &TreeNode{Val: 3}
q := &TreeNode{Val: 1}
q.Left = &TreeNode{Val: 2}
q.Right = &TreeNode{Val: 3}
isSame := isSameTree(p, q)
fmt.Printf("两棵树是否相同: %t\n", isSame)
}代码说明
对于Golang版本，我们同样定义了一个
TreeNode结构体，但是不需要手动管理内存，因为Golang有垃圾回收机制。isSameTree函数的实现与C语言版本类似，也是通过递归的方式比较两棵树是否相同。在main函数中，我们创建了两棵树的示例，并调用isSameTree函数进行比较。
复杂度分析
-
时间复杂度：O(n)
在使用集合法解决二叉树相关问题时，时间复杂度主要由两部分组成：遍历树的时间复杂度和操作集合的时间复杂度。
遍历树的时间复杂度通常是O(n)，其中n是树中节点的数量。这是因为需要访问树中的每一个节点。
操作集合（如添加元素、检查元素是否存在）的时间复杂度通常是O(1)，这是因为HashSet等集合类型在内部使用了哈希表，使得插入和查找操作的平均时间复杂度为常数。
因此，总的时间复杂度是O(n + m)，其中m是树中不同值的数量。然而，在实际应用中，由于m通常远小于n（除非树中大部分节点的值都是重复的），所以时间复杂度可以近似看作是O(n)。
-
空间复杂度：O(m)
使用集合法的空间复杂度主要由集合本身的大小决定。在最坏情况下，如果树中每个节点的值都是唯一的，那么集合将存储所有的节点值，空间复杂度为O(m)，其中m是树中不同值的数量。如果树中有很多重复的节点值，那么集合的大小会相应减小。
需要注意的是，除了集合本身占用的空间外，还需要考虑遍历树时可能使用的其他数据结构（如栈或队列）所占用的空间。然而，在只考虑集合本身的情况下，空间复杂度是O(m)。
综上所述，使用集合法在解决二叉树相关问题时，时间复杂度通常可以看作是O(n)，而空间复杂度为O(m)，其中m是树中不同值的数量。这种方法在节点值重复较少时可能会占用较大的空间，但在某些特定场景下（如查找重复值或交集）可以非常高效。
总结
| 方式 | 优点 | 缺点 | 时间复杂度 | 空间复杂度 |
|---|---|---|---|---|
| 递归法 | 逻辑清晰，易于理解 | 可能导致栈溢出，空间占用随树深度增加而增加 | O(n) | O(h) (h为树的高度) |
| 迭代法 | 不受栈大小限制，更稳定 | 代码相对复杂，需要维护额外的数据结构（如栈或队列） | O(n) | O(n) (最坏情况下) |
| 使用集合法 | 时间效率高，易于实现 | 空间占用可能较大，尤其是当树节点值重复时 | O(n) | O(m) (m为树中不同值的数量) |
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这些题目涵盖了二叉树的不同遍历方式和结构比较，有助于加深对二叉树相关概念的理解和应用。
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