动态规划|583.两个字符串的删除操作

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class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1));
        for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
        for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;
        for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else {
                    dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[word1.size()][word2.size()];
    }
};

思路

#动态规划一

本题和动态规划：115.不同的子序列 (opens new window)相比，其实就是两个字符串都可以删除了，情况虽说复杂一些，但整体思路是不变的。

这次是两个字符串可以相互删了，这种题目也知道用动态规划的思路来解，动规五部曲，分析如下：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp $i$ $j$ ：以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1位结尾的字符串word2，想要达到相等，所需要删除元素的最少次数。

这里dp数组的定义有点点绕，大家要撸清思路。

确定递推公式

当word1 $i - 1$ 与 word2 $j - 1$ 相同的时候
当word1 $i - 1$ 与 word2 $j - 1$ 不相同的时候

当word1 $i - 1$ 与 word2 $j - 1$ 相同的时候，dp $i$ $j$ = dp $i - 1$ $j - 1$ ;

当word1 $i - 1$ 与 word2 $j - 1$ 不相同的时候，有三种情况：

情况一：删word1 $i - 1$ ，最少操作次数为dp $i - 1$ $j$ + 1

情况二：删word2 $j - 1$ ，最少操作次数为dp $i$ $j - 1$ + 1

情况三：同时删word1 $i - 1$ 和word2 $j - 1$ ，操作的最少次数为dp $i - 1$ $j - 1$ + 2

那最后当然是取最小值，所以当word1 $i - 1$ 与 word2 $j - 1$ 不相同的时候，递推公式：dp $i$ $j$ = min({dp $i - 1$ $j - 1$ + 2, dp $i - 1$ $j$ + 1, dp $i$ $j - 1$ + 1});

因为 dp $i$ $j - 1$ + 1 = dp $i - 1$ $j - 1$ + 2，所以递推公式可简化为：dp $i$ $j$ = min(dp $i - 1$ $j$ + 1, dp $i$ $j - 1$ + 1);

这里可能不少录友有点迷糊，从字面上理解就是当同时删word1 $i - 1$ 和word2 $j - 1$ ，dp $i$ $j-1$ 本来就不考虑 word2 $j - 1$ 了，那么我在删 word1 $i - 1$ ，是不是就达到两个元素都删除的效果，即 dp $i$ $j-1$ + 1。

dp数组如何初始化

从递推公式中，可以看出来，dp $i$ $0$ 和 dp $0$ $j$ 是一定要初始化的。

dp $i$ $0$ ：word2为空字符串，以i-1为结尾的字符串word1要删除多少个元素，才能和word2相同呢，很明显dp $i$ $0$ = i。

dp $0$ $j$ 的话同理，所以代码如下：

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vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1));
for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;

确定遍历顺序

从递推公式 dp $i$ $j$ = min(dp $i - 1$ $j - 1$ + 2, min(dp $i - 1$ $j$ , dp $i$ $j - 1$ ) + 1); 和dp $i$ $j$ = dp $i - 1$ $j - 1$ 可以看出dp $i$ $j$ 都是根据左上方、正上方、正左方推出来的。

所以遍历的时候一定是从上到下，从左到右，这样保证dp $i$ $j$ 可以根据之前计算出来的数值进行计算。

举例推导dp数组

以word1:"sea"，word2:"eat"为例，推导dp数组状态图如下：

思路