数学小报4 - 三次方程的求根公式 Quadratic Formula
0. 前言
完整内容同步发表于 https://blog.csdn.net/Mr_Azz/article/details/135443217
由于证明量过于巨大，部分证明简化，详情请见网址。
1. 思考
我们学习过一元二次方程的求根公式 x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} x=2a−b±b2−4ac ，思考是否存在一元三次方程的求根公式，便展开讨论。
补充 ω 2 + ω + 1 = 0 \omega^2+\omega+1=0 ω2+ω+1=0 且 ω 3 = 1 \omega^3=1 ω3=1，将 ω \omega ω 称为 1 1 1 的三次单位根。
2. 证明 卡尔丹公式证明
设一元三次方程 a y 3 + b y 2 + c y + d = 0 ( 1 ) ay^3+by^2+cy+d=0~~(1) ay3+by2+cy+d=0 (1)
令 y = x − b 3 a y=x-\frac{b}{3a} y=x−3ab，代入得： x 3 − b 2 − 3 a c 3 a 2 x + a b 3 − 9 b c + 27 a 2 d 27 a 3 = 0 ( 2 ) x^3-\frac{b^2-3ac}{3a^2}x+\frac{ab^3-9bc+27a^2d}{27a^3}=0~~(2) x3−3a2b2−3acx+27a3ab3−9bc+27a2d=0 (2)
令 p = b 2 − 3 a c 3 a 2 ， q = a b 3 − 9 b c + 27 a 2 d 27 a 3 p=\frac{b^2-3ac}{3a^2}，q=\frac{ab^3-9bc+27a^2d}{27a^3} p=3a2b2−3ac，q=27a3ab3−9bc+27a2d，则 x 3 − p x + q = 0 ( 3 ) x^3-px+q=0~~(3) x3−px+q=0 (3)
令 x = u + v x=u+v x=u+v，代入至 (3) 式得： u 3 + v 3 + ( 3 u v − p ) ( u + v ) + q = 0 ( 4 ) u^3+v^3+(3uv-p)(u+v)+q=0~~(4) u3+v3+(3uv−p)(u+v)+q=0 (4)
令 3 u v − p = 0 3uv-p=0 3uv−p=0 即 u v = p 3 uv=\frac{p}{3} uv=3p，代入 (4) 式得： u 3 + v 3 = − q ( 5 ) u^3+v^3=-q~~(5) u3+v3=−q (5)
∴ u 3 × v 3 = p 3 27 ( 6 ) \therefore u^3\times v^3=\frac{p^3}{27}~~(6) ∴u3×v3=27p3 (6)
联立 ( 5 ) 和 ( 6 ) 式得 : { u 3 + v 3 = − q u 3 × v 3 = − q 3 27 即 { u 3 = − q 2 + q 2 4 − p 3 27 v 3 = − q 2 − q 2 4 − p 3 27 联立 (5) 和 (6)式得: \left\{ \begin{matrix} u^3+v^3=-q\\ u^3\times v^3=-\frac{q^3}{27}\\ \end{matrix} \right. ~~即 \left\{ \begin{matrix} u^3=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}\\ v^3=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}\\ \end{matrix} \right.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 联立(5)和(6)式得:{u3+v3=−qu3×v3=−27q3 即⎩ ⎨ ⎧u3=−2q+4q2−27p3 v3=−2q−4q2−27p3
\\therefore u=\\left{ \\begin{matrix} \\sqrt\[3\]{-\\frac{q}{2}+\\sqrt{\\frac{q^2}{4}-\\frac{p^3}{27}}}\~\~\~\~\~\~\~ \\ \\sqrt\[3\]{-\\frac{q}{2}+\\sqrt{\\frac{q^2}{4}-\\frac{p^3}{27}}}·\\omega\~\~\\ \\sqrt\[3\]{-\\frac{q}{2}+\\sqrt{\\frac{q^2}{4}-\\frac{p^3}{27}}}·\\omega\^2\\ \\end{matrix} \\right. v=\left\{ \begin{matrix} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}~~~~~~~ \\ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega~~\\ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega^2\\ \end{matrix} \right.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
$\because uv=\frac{p}{3}$
$$
\therefore x=\left\{
\begin{matrix}
\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}+
\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}~~~~~~~~~~~~\\
\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega+
\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega^2\\
\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega^2+
\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega\\
\end{matrix}
\right.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
$$
### 3. 总结
一元二次方程有自己的判别式，其实在一元三次方程中也有自己的判别式：$\Delta=\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}$
| 条件 | 情况 |
| ----------------------------- | ------------------------------------ |
| $\Delta>0$ | **方程有一个实根和一对共轭虚根** |
| $\Delta=0$ **且** $pq \neq 0$ | **方程有一个两重实根和一个单重实根** |
| $\Delta<0$ | **方程有三个互异实根** |
| $p=q=0$ | **方程有一个三重实根** |