后缀表达式

什么是后缀表达式?

在计算机科学和数学领域,表达式求值是一项基本且频繁的任务。我们熟知的中缀表达式(如 7 + 15 ∗ 1 + 4 ∗ 1)直观易读,但在计算机处理时却需要复杂的栈或递归算法来解析。相比之下,后缀表达式(又称为逆波兰表示法)则更为简洁。

后缀表达式是一种将运算符放置在操作数之后的表示法。比如,中缀表达式 5 + 3 ∗ 2 在后缀形式下写作 5 3 2 ∗ + 。在这一表示法中,每个运算符紧跟着它作用的所有操作数,消除了括号的需要,简化了计算规则。

后缀表达式的优点

简化解析 :后缀表达式无需考虑运算符优先级和括号,可以直接通过栈实现简单高效的计算。
直接计算 :遵循遇到操作数入栈,遇到运算符弹出栈顶两个操作数计算并将结果入栈 的原则,直至表达式结束。
易于实现:后缀表达式的算法实现相对简单,减少了编程复杂度

中缀转后缀

  • 我们利用栈将中缀表达式转换为后缀表达式。
  • 遍历中缀表达式,如果遇到数字,直接将其添加到输出队列的末尾。
  • 如果遇到的是左括号 (,直接将其压入操作符栈。
  • 如果遇到的是右括号 ),则不断地从操作符栈顶弹出操作符并加入输出队列,直到遇到左括号 ((左括号不加入输出队列,直接丢弃),这样做的目的是将括号内的表达式处理完毕。
  • 对于其他操作符(如 +, -, *, /),需要与栈顶的操作符比较优先级:
  • 如果栈顶操作符优先级更低或栈为空,则将当前操作符压入栈。
  • 如果当前操作符优先级不低于栈顶操作符(如乘除优先于加减),则持续从栈顶弹出操作符加入输出队列,直到栈顶的操作符优先级低于当前操作符,然后将当前操作符压入栈。
  • 遍历完整个中缀表达式后,如果操作符栈中仍有剩余操作符,将它们全部弹出并加入输出队列。

示例:

假设有一个中缀表达式:3 + 4 * 2 - (10 / 5)

转换过程如下:

遇到 3,输出队列变为 3。

遇到 +,压入操作符栈。

遇到 4,输出队列变为 3 4。

遇到 *,由于 * 的优先级高于 +,将 * 压入栈。

遇到 2,输出队列变为 3 4 2。

遇到 -,此时栈顶为 *,优先级不低于 -,故先弹出 * 加入输出队列,然后将 - 压入栈,输出队列变为 3 4 2 *。

遇到左括号 (,压入栈。

遇到 10,输出队列变为 3 4 2 * 10。

遇到 /,压入栈。

遇到 5,输出队列变为 3 4 2 * 10 5。

遇到右括号 ),弹出栈顶直到左括号,输出队列变为 3 4 2 * 10 5 /。

遍历结束,栈中剩余 -,弹出加入输出队列,最终输出队列为:3 4 2 * 10 5 / - +。

后缀表达式的运算

后缀表达式的运算也通过栈进行。方法如下:

  • 左到右扫描后缀表达式:每次遇到一个元素,根据以下规则处理:
  • 如果是操作数(数字),直接将其压入栈顶。例如,遇到数字 5,直接将其压入栈中。
  • 如果是运算符(如 +, -, *, /),从栈顶弹出两个操作数(栈顶元素作为第二个操作数,次栈顶元素作为第一个操作数),对它们进行相应的运算,然后将运算结果压回栈顶。
  • 遍历完整个表达式后,栈顶剩下的唯一元素就是整个后缀表达式的计算结果。

示例:

我们用上面算出的后缀表达式进行演示:3 4 2 * 10 5 / - +。

遍历后缀表达式

遇到 3 ,压栈 → 栈:[3]

遇到 4 ,压栈 → 栈:[3, 4]

遇到 2 ,压栈 → 栈:[3, 4, 2]

遇到 *(乘法) ,弹出 24,计算 4 * 2 = 8,压栈 → 栈:[3, 8]

遇到 10 ,压栈 → 栈:[3, 8, 10]

遇到 5 ,压栈 → 栈:[3, 8, 10, 5]

遇到 /(除法) ,弹出 510,计算 10 / 5 = 2,压栈 → 栈:[3, 8, 2]

遇到 -(减法) ,弹出 28,计算 8 - 2 = 6,压栈 → 栈:[3, 6]

遇到 +(加法) ,弹出 63,计算 3 + 6 = 9,压栈 → 栈:[9]

遍历完成 ,栈中剩下 9,这是后缀表达式 3 4 2 * 10 5 / - + 的计算结果。

代码实现

复制代码
// 辅助函数确定操作符的优先级
int precedence(char op) 
{
    if (op == '*' || op == '/') return 2;
    if (op == '+' || op == '-') return 1;
    return 0; // 无效操作符的默认优先级
}

// 辅助函数判断字符是否为操作符
bool isOperator(char c) 
{
    return c == '+' || c == '-' || c == '*' || c == '/';
}


std::string infixToPostfix(const std::string& infixExp) 
{
    std::stack<char> operators;
    std::stringstream output;
    for (char c : infixExp) 
    {
        if (isdigit(c)) 
        {
            output << c; // 直接输出数字
        } 
        else if (isOperator(c)) 
        {
            while (!operators.empty() && precedence(operators.top()) >= precedence(c)) 
            {
                output << ' ' << operators.top();
                operators.pop();
            }
            operators.push(c);
        } 
        else if (c == '(') 
        {
            operators.push(c);
        } 
        else if (c == ')') 
        {
            while (!operators.empty() && operators.top() != '(') 
            {
                output << ' ' << operators.top();
                operators.pop();
            }
            if (!operators.empty() && operators.top() == '(')
                operators.pop(); // 弹出左括号,但不输出
        }
    }
    // 处理剩余的操作符
    while (!operators.empty())
    {
        output << ' ' << operators.top();
        operators.pop();
    }
    return output.str();
}
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