1、前言
上一篇，我们讲了Diffusion这个模型的原理推导。但在推导中，仍然遗留了一些问题。本文将解决那些问题
参考论文：
①Variational Diffusion Models (arxiv.org)
②Tutorial on Diffusion Models for Imaging and Vision (arxiv.org)
2、 q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q(x_{t-1}|x_t,x_0) q(xt−1∣xt,x0)
在上篇文章中，我们说 q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q(x_{t-1}|x_t,x_0) q(xt−1∣xt,x0)服从正态分布，但是并没有已与证明。那是因为我翻阅了大量的文章资料，都没有找到相关的证明过程。但是正当我放弃之际，我竟然找到了
首先，我们将这个概率利用贝叶斯公式展开
q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) = q ( x t − 1 , x t ∣ x 0 ) q ( x t ∣ x 0 ) = q ( x t ∣ x t − 1 , x 0 ) q ( x t − 1 ∣ x 0 ) q ( x t ∣ x 0 ) = q ( x t ∣ x t − 1 ) q ( x t − 1 ∣ x 0 ) q ( x t ∣ x 0 ) q(x_{t-1}|x_t,x_0)=\frac{q(x_{t-1},x_t|x_0)}{q(x_{t}|x_0)}=\frac{q(x_t|x_{t-1},x_0)q(x_{t-1}|x_0)}{q(x_t|x_0)}=\frac{q(x_t|x_{t-1})q(x_{t-1}|x_0)}{q(x_t|x_0)} q(xt−1∣xt,x0)=q(xt∣x0)q(xt−1,xt∣x0)=q(xt∣x0)q(xt∣xt−1,x0)q(xt−1∣x0)=q(xt∣x0)q(xt∣xt−1)q(xt−1∣x0)
在此，得出 q ( x t − 1 ∣ x 0 ) q(x_{t-1}|x_0) q(xt−1∣x0)为先验， q ( x t ∣ x t − 1 ) q(x_t|x_{t-1}) q(xt∣xt−1)为似然，而 q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q(x_{t-1}|x_t,x_0) q(xt−1∣xt,x0)则为后验
论文①里面给出这个定理
我在以前的文章，也推导出这样的一个定理
如果： P ( x ) ∼ N ( x ∣ μ x , Σ x ) P ( y ∣ x ) ∼ N ( y ∣ A x + B , Q ) 那么： P ( x ∣ y ) ∼ N ( x ∣ μ x − Σ x y Σ y y − 1 μ y , Σ x x − Σ x y Σ y y − 1 Σ y x ) \begin{aligned}如果：&\\&P(x)\sim N(x|\mu_x,\Sigma_x)\\&P(y|x) \sim N(y|Ax+B,Q)\\那么：&\\&P(x|y)\sim N(x|\mu_x-\Sigma_{xy}\Sigma_{yy}^{-1}\mu_y,\Sigma_{xx}-\Sigma_{xy}\Sigma_{yy}^{-1}\Sigma_{yx})\end{aligned}\nonumber 如果：那么：P(x)∼N(x∣μx,Σx)P(y∣x)∼N(y∣Ax+B,Q)P(x∣y)∼N(x∣μx−ΣxyΣyy−1μy,Σxx−ΣxyΣyy−1Σyx)
其中里面的 Σ x y \Sigma_{xy} Σxy表示随机变量x，y的协方差矩阵，而 μ y \mu_y μy是随机变量y的期望。都是可以求出来的
至于怎么求，而刚刚的定理是怎么来的，请看我以前写过的一篇博文：线性动态系统中的概率求解_随机动态系统 条件概率-CSDN博客
好，现在，我们不难发现， P ( x ) P(x) P(x)就是先验，而 P ( y ∣ x ) P(y|x) P(y∣x)则是似然， P ( x ∣ y ) P(x|y) P(x∣y)就是后验。
P ( x ∣ y ) P(x|y) P(x∣y)刚好对应上面那个 q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q(x_{t-1}|x_t,x_0) q(xt−1∣xt,x0)。那么也就是说， P ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) P(x_{t-1}|x_t,x_0) P(xt−1∣xt,x0)就是正态分布。至于是否要用刚刚的公式求出来，反而有些麻烦，其实可以直接用上一篇文章那种推导就可以了。
还有一点值得注意的是，在论文①中，里面已经强调了 q ( x t − 1 ∣ x 0 ) q(x_{t-1}|x_0) q(xt−1∣x0)为先验， q ( x t ∣ x t − 1 ) q(x_t|x_{t-1}) q(xt∣xt−1)为似然，而 q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q(x_{t-1}|x_t,x_0) q(xt−1∣xt,x0)则为后验
其实论文还提出，如果似然跟先验满足刚刚提出的定理，就可以直接得到后验的公式。
我想说的是，论文只是为了得到后验的公式。如果我们不想得到后验的公式（比如我们只想知道后验是什么分布）
那么根据高斯分布的自共轭性质，如果先验和似然都是高斯分布，那么后验就是高斯分布。就能得出结论了。
3、重建损失问题
在上一篇文章中，对于重构项 E q ( x 1 ∣ x 0 ) log P ( x 0 ∣ x 1 ) \mathbb{E}_{q(x_1|x_0)}\\log P(x_0\|x_1) Eq(x1∣x0)logP(x0∣x1)，我们进行了一些推导
但其实，那是我自己推的，论文里面没有提到。
虽然得到了结果，但是毕竟不是论文里面的。如果你想看论文里面的推导（毕竟我写错的概率大，而论文错的概率却很小）。可以参考论文②，里面有对重构项的推导。
想看论文里面的推导（毕竟我写错的概率大，而论文错的概率却很小）。可以参考论文②，里面有对重构项的推导。