凸优化理论学习二|凸函数及其相关概念

系列文章目录

文章目录

系列文章目录
一、凸函数
二、函数的保凸运算
三、构造性凸分析
四、透视与共轭
- （一）透视函数
- （二）共轭函数
五、拟凸性
- [（一）拟凸函数(quasiconvex function) 定义](#（一）拟凸函数(quasiconvex function) 定义)
- （二）常见的拟凸、拟凹、拟线性函数
- （三）拟凸函数的性质

一、凸函数

（一）凸集

设 S S S为 n n n维欧氏空间 R n R^n Rn中一个集合，若对 S S S中任意两点，连接他们的线段仍属于 S S S；换言之，对 S S S中任意两点 x ( 1 ) x^{(1)} x(1)， x ( 2 ) x^{(2)} x(2)及每个实数 λ ∈ [ 0 , 1 ] \lambda\in[0,1] λ∈[0,1]，都有：
λ x ( 1 ) + ( 1 − λ ) x ( 2 ) ∈ S \lambda x^{(1)}+(1-\lambda)x^{(2)}\in S λx(1)+(1−λ)x(2)∈S

则称 S S S为凸集，其中 x ( 1 ) x^{(1)} x(1)， x ( 2 ) x^{(2)} x(2)表示向量， λ x ( 1 ) + ( 1 − λ ) x ( 2 ) \lambda x^{(1)}+(1-\lambda)x^{(2)} λx(1)+(1−λ)x(2)称为 x ( 1 ) x^{(1)} x(1)， x ( 2 ) x^{(2)} x(2)的凸组合。

（二）凸函数的定义及举例

设 S S S为 n n n维欧氏空间 R n R^n Rn中的非空凸集， f f f是定义在 S S S上的实函数，如果对任意的 x , y ∈ S x,y\in S x,y∈S及 0 ≤ θ ≤ 1 0\leq \theta \leq 1 0≤θ≤1，有：
f ( θ x + ( 1 − θ ) y ) ≤ θ f ( x ) + ( 1 − θ ) f ( y ) f(\theta x+(1-\theta)y)\leq\theta f(x)+(1-\theta)f(y) f(θx+(1−θ)y)≤θf(x)+(1−θ)f(y)

则称 f f f为 S S S上的凸函数。（这里的凸函数与高数里面定义的凸函数则恰恰相反。）

如果 -f 是凸的，则 f 是凹的
当不需要满足等号条件时， f f f为严格凸函数

标量/一维空间内的凸函数：

仿射集：在实数域的所有 a x + b , a , b ∈ R ax+b,a,b\in R ax+b,a,b∈R
指数函数： e a x , a ∈ R e^{a x},a\in R eax,a∈R
幂函数： x α , α ≥ 1 x^{\alpha},\alpha\geq1 xα,α≥1或 α ≤ 0 \alpha\leq0 α≤0
幂函数的绝对值： ∣ x ∣ p , p ≥ 1 |x|^p,p\geq1 ∣x∣p,p≥1
负熵函数： x l o g x xlogx xlogx，定义域 R + + R_{++} R++

标量/一维空间内的凹函数：

仿射集：在实数域的所有 a x + b , a , b ∈ R ax+b,a,b\in R ax+b,a,b∈R
幂函数： x α , 0 ≤ α ≤ 1 x^{\alpha},0\leq\alpha\leq1 xα,0≤α≤1
熵函数： − x l o g x -xlogx −xlogx，定义域 R + + R_{++} R++

n 维欧几里得空间的凸函数：

仿射函数： f ( x ) = a T x + b f(x)=a^Tx+b f(x)=aTx+b
任意范式： ∣ ∣ x ∣ ∣ p = ( ∣ x 1 ∣ p + . . . ∣ x n ∣ p ) 1 / p f o r p ≥ 1 ||x||p=(|x_1|^p+...|x_n|^p)^{1/p} \ for\ p\geq1 ∣∣x∣∣p=(∣x1∣p+...∣xn∣p)1/p for p≥1、 ∣ ∣ x ∣ ∣ ∞ = m a x { ∣ x 1 ∣ , . . . , ∣ x 2 ∣ } ||x||_∞=max\{|x_1|,...,|x_2|\} ∣∣x∣∣∞=max{∣x1∣,...,∣x2∣}
平方和： ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 2 = x 1 2 + . . . + x n 2 ||x||^2_2=x_1^2+...+x_n^2 ∣∣x∣∣22=x12+...+xn2
最大值函数： m a x ( x ) = m a x { x 1 , x 2 , . . . , x n } max(x)=max\{x_1,x_2,...,x_n\} max(x)=max{x1,x2,...,xn}
softmax函数或log-sum-exp函数： l o g ( e x p x 1 + . . . + e x p x n ) log(exp\ x_1+...+exp\ x_n) log(exp x1+...+exp xn)

矩阵空间上的凸函数：

仿射函数： f ( X ) = t r ( A T X ) + b = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n A i j X i j + b f(X)=tr(A^TX)+b=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nA_{ij}X_{ij}+b f(X)=tr(ATX)+b=∑i=1m∑j=1nAijXij+b，其中 A ∈ R m × n , b ∈ R A\in R^{m\times n},b\in R A∈Rm×n,b∈R
谱范数（最大奇异值）是凸的： f ( X ) = ∣ ∣ X ∣ ∣ 2 = σ m a x ( X ) = ( λ m a x ( X T X ) ) 1 / 2 f(X)=||X||2=\sigma{max}(X)=(\lambda_{max}(X^TX))^{1/2} f(X)=∣∣X∣∣2=σmax(X)=(λmax(XTX))1/2
对数行列式： X ∈ S + + n , f ( X ) = l o g d e t X X\in S^n_{++},f(X)=log\ det\ X X∈S++n,f(X)=log det X

（三）凸函数的证明

在判断函数是凸函数还是凹函数的时候，不管是一阶还是二阶条件，必须满足函数f的定义域domf必须是凸集这个前提条件

1、将凸函数限制在一条直线上

如果能够把一个凸函数限制到一条直线上后仍是凸的，就可以判定这个凸函数是凸的：

数学表达式理解：函数 f : R n → R f:R^n\rightarrow R f:Rn→R是凸函数当且仅当对于任意的 x ∈ d o m f x\in dom \ f x∈dom f和任意向量 v ∈ R n v\in R^n v∈Rn，函数 g ( t ) = f ( x + t v ) , d o m g = { t ∣ x + t v ∈ d o m f } g(t)=f(x+tv),dom\ g=\{t|x+tv\in dom\ f\} g(t)=f(x+tv),dom g={t∣x+tv∈dom f}为凸函数。
通俗理解：将n维空间的函数映射到一维平面上，问题就转换为判断一维空间中的函数 g ( t ) g(t) g(t)是否为凸函数。

应用示例：

2、判断函数是否为凸函数的一阶条件

假设函数 f f f可微，其梯度 Δ f \Delta f Δf在开集定义域中处处存在，则函数f是凸函数的充要条件是定义域为凸集，且对任意 x , y ∈ d o m f x,y\in dom\ f x,y∈dom f，下式成立：
f ( y ) ≥ f ( x ) + Δ f ( x ) T ( y − x ) f(y)\geq f(x)+\Delta f(x)^T(y-x) f(y)≥f(x)+Δf(x)T(y−x)

梯度定义为：
Δ f ( x ) = ( ∂ f ( x ) ∂ x 1 , ∂ f ( x ) ∂ x 2 , . . . , ∂ f ( x ) ∂ x n ) \Delta f(x)=(\frac{\partial f(x)}{\partial x_1},\frac{\partial f(x)}{\partial x_2},...,\frac{\partial f(x)}{\partial x_n}) Δf(x)=(∂x1∂f(x),∂x2∂f(x),...,∂xn∂f(x))

3、判断函数是否为凸函数的二阶条件

假设函数 f f f二阶可微，则对于函数 f f f的开集定义域dom内的任意一点，它的Hessian矩阵或者二阶导数 Δ 2 f \Delta^2f Δ2f存在，函数 f f f是凸函数的充要条件是其Hessian矩阵为半正定矩阵：
Δ 2 f ( x ) i j = ∂ 2 f ( x ) ∂ x i ∂ y j , i , j = 1 , . . . , n , Δ 2 f ( x ) ≥ 0 , ∀ x ∈ d o m f \Delta^2 f(x)_{ij}=\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i\partial y_j},i,j=1,...,n,\Delta^2 f(x)\geq0,∀x\in dom\ f Δ2f(x)ij=∂xi∂yj∂2f(x),i,j=1,...,n,Δ2f(x)≥0,∀x∈dom f

其梯度 Δ f \Delta f Δf在开集定义域中处处存在，则函数f是凸函数的充要条件是定义域为凸集，且对任意 x , y ∈ d o m f x,y\in dom\ f x,y∈dom f，下式成立：
f ( y ) ≥ f ( x ) + Δ f ( x ) T ( y − x ) f(y)\geq f(x)+\Delta f(x)^T(y-x) f(y)≥f(x)+Δf(x)T(y−x)

应用示例：

（四）下水平集和表观

Epigraph和α-sublevel set的联系是对于任意一个t，都对应一个α-sublevel set。

下水平集α-sublevel set：

函数 f : R n → R f:R^n\rightarrow R f:Rn→R的α-下水平集定义为：
C α = { x ∈ d o m f ∣ f ( x ) ≤ α } C_{\alpha}=\{x\in dom\ f|f(x)\leq\alpha\} Cα={x∈dom f∣f(x)≤α}
对于任何的值，凸函数的下水平集仍然是凸集，但反之不一定正确，即某函数的所有下水平集都是凸集，但是这个函数可能不是凸函数

表观Epigraph：

f 是凸的当且仅当其表观是凸集
函数 f : R n → R f:R^n\rightarrow R f:Rn→R的图像定义为：（是 R n + 1 R^{n+1} Rn+1空间的一个子集）
{ ( x , f ( x ) ) ∣ x ∈ d o m f } \{(x,f(x))|x\in dom\ f\} {(x,f(x))∣x∈dom f}
函数 f : R n → R f:R^n\rightarrow R f:Rn→R的表观定义为：
e p i f = { ( x , t ) ∈ R t + 1 ∣ x ∈ d o m f f ( x ) ≤ t } epif=\{(x,t)\in R^{t+1}|x\in dom\ f\,f(x)\leq t\} epif={(x,t)∈Rt+1∣x∈dom ff(x)≤t}

（五）詹森不等式

基本不等式：如果 f f f是凸的，对于 x , y ∈ d o m f ， 0 ≤ θ ≤ 1 x,y\in dom\ f，0\leq\theta\leq1 x,y∈dom f，0≤θ≤1，有：
f ( θ x + ( 1 − θ ) y ) ≤ θ f ( x ) + ( 1 − θ ) f ( y ) f(\theta x+(1-\theta)y)\leq\theta f(x)+(1-\theta)f(y) f(θx+(1−θ)y)≤θf(x)+(1−θ)f(y)

应用示例：

拓展：如果 f f f是凸的，并且 z z z是 d o m f dom f domf上的一个随机向量，则有：
f ( E z ) ≤ E f ( z ) f(Ez)\leq Ef(z) f(Ez)≤Ef(z)

基本不等式在离散分布的特殊情况：
p r o b ( z = x ) = θ , p r o b ( z = y ) = 1 − θ prob(z=x)=\theta,\ prob(z=y)=1-\theta prob(z=x)=θ, prob(z=y)=1−θ

二、函数的保凸运算

（一）证明一个函数是凸函数

根据凸优化理论学习一|最优化及凸集的基本概念可知：证明集合 C 是凸集的方法：

基于定义：如果 x 1 , x 2 ∈ C , 0 ≤ θ ≤ 1 x_1,x_2\in C,0\leq\theta\leq 1 x1,x2∈C,0≤θ≤1，则有 θ x 1 + ( 1 − θ ) x 2 ∈ C \theta x_1+(1-\theta)x_2\in C θx1+(1−θ)x2∈C；

使用凸函数；

表明 C 是通过保留凸性的操作从简单凸集（超平面、半空间、范数球......）获得的，这里保留凸性的操作有：交运算、仿射映射、透视函数、线性分数函数等。

基于定义（通常通过将凸函数限制在一条直线上来简化）
基于凸函数的一、二阶条件
证明函数f是通过保留凸性的操作从简单的凸函数获得的，这里保留凸性的操作有：非负加权和、与仿射函数的复合、逐点极大值和上确值、与标量或向量函数的复合、取下确界、透视函数等。

（二）保留凸性的运算

1、非负缩放、总和、积分

非负倍数：如果 f f f是凸函数，且 α ≥ 0 \alpha\geq 0 α≥0，则 α f \alpha f αf是凸函数

和：如果 f 1 , f 2 f_1,f_2 f1,f2均为凸函数，则 f 1 + f 2 f_1+f_2 f1+f2也为凸函数

无穷总和：如果 f 1 , f 2 , . . . f_1,f_2,... f1,f2,...均为凸函数，则 ∑ i = 1 ∞ f i \sum_{i=1}^∞f_i ∑i=1∞fi也为凸函数

积分：如果 f ( x , α ) f(x,\alpha) f(x,α)对于每一个 α ∈ A \alpha\in A α∈A是凸函数，那么 ∫ α ∈ A f ( x , α ) d α \int_{\alpha\in A} {f(x,\alpha)} \,{\rm d}\alpha ∫α∈Af(x,α)dα也为凸函数

2、与仿射函数的复合

具有仿射函数的（预）组合：如果 f f f 是凸函数，则 f ( A x + b ) f (Ax + b) f(Ax+b) 也是凸函数。即自变量先进行仿射变换，再代入函数后仍会保持凸性。

证明：

线性不等式的对数障碍函数： f ( x ) = − ∑ i = 1 m l o g ( b i − a i T x ) , d o m f = { x ∣ a i T < b , i = 1 , 2 , . . . , m } f(x)=-\sum_{i=1}^m log(b_i-a_i^Tx),dom \ f=\{x|a_i^T<b,i=1,2,...,m\} f(x)=−∑i=1mlog(bi−aiTx),dom f={x∣aiT<b,i=1,2,...,m}
仿射函数的任意范数： f ( x ) = ∣ ∣ A x + b ∣ ∣ f(x)=||Ax+b|| f(x)=∣∣Ax+b∣∣

3、逐点最大值

若 f 1 , f 2 , . . . , f m f_{1},f_{2},...,f_{m} f1,f2,...,fm是凸函数，则 f ( x ) = m a x { f 1 , f 2 , . . . , f m } f(x)=max\{f_{1},f_{2},...,f_{m}\} f(x)=max{f1,f2,...,fm}是凸函数。

证明：（以两个函数为例）

分段线性函数： f ( x ) = m a x i = 1 , 2 , . . . , m ( a i T x + b i ) f(x)=\mathop{max}\limits_{i=1,2,...,m}(a_{i}^{T}x+b_{i}) f(x)=i=1,2,...,mmax(aiTx+bi)是凸函数
x ∈ R n x\in \R^{n} x∈Rn的前 r r r个最大分量之和是凸函数： f ( x ) = x [ 1 ] + x [ 2 ] + . . . + x [ r ] f(x)=x_{[1]}+x_{[2]}+...+x_{[r]} f(x)=x[1]+x[2]+...+x[r]（ x [ i ] x_{[i]} x[i]为 x x x的从大到小排列的第 i i i个分量）

4、逐点取上界

如果对于每个 y ∈ A y ∈ A y∈A， f ( x , y ) f (x, y) f(x,y) 是关于 x x x的凸函数，则 g ( x ) = s u p y ∈ A f ( x , y ) g(x) = {sup}_{y∈A} f (x, y) g(x)=supy∈Af(x,y) 是凸函数。

集合 C C C的支撑函数： S C ( x ) = s u p y ∈ C y T x S_{C}(x)=\mathop{sup}\limits_{y\in C}y^{T}x SC(x)=y∈CsupyTx是凸函数
集合 C C C点到给定点 x x x的最远距离： f ( x ) = s u p y ∈ C ∣ ∣ x − y ∣ ∣ f(x)=\mathop{sup}\limits_{y\in C}||x-y|| f(x)=y∈Csup∣∣x−y∣∣
对称矩阵 X ∈ S n X\in S^{n} X∈Sn的最大特征值： λ m a x ( X ) = s u p ∣ ∣ y ∣ ∣ 2 = 1 y T X y \lambda_{max}(X)=\mathop{sup}\limits_{||y||_{2}=1}y^{T}Xy λmax(X)=∣∣y∣∣2=1supyTXy

5、取下确界

若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)关于 ( x , y ) (x,y) (x,y)整体是凸函数， C C C是凸集，则 g ( x ) = i n f y ∈ C f ( x , y ) g(x)=\mathop{inf}\limits_{y\in C}f(x,y) g(x)=y∈Cinff(x,y)是凸函数

点 x x x到凸集 S S S的距离 d i s t ( x , S ) = i n f y ∈ S ∣ ∣ x − y ∣ ∣ dist(x,S)=\mathop{inf}\limits_{y\in S}||x-y|| dist(x,S)=y∈Sinf∣∣x−y∣∣是凸函数

6、与标量函数复合

给定函数 g : R n → R g:\R^{n}\rightarrow \R g:Rn→R和 h : R → R h:\R \rightarrow\R h:R→R，有 f ( x ) = h ( g ( x ) ) f(x)=h(g(x)) f(x)=h(g(x))，有以下4条结论成立：

h为凸， h ~ \tilde{h} h~不降， g g g为凸，则 f f f为凸
h为凸， h ~ \tilde{h} h~不增， g g g为凹，则 f f f为凸
h为凹， h ~ \tilde{h} h~不降， g g g为凹，则 f f f为凹
h为凹， h ~ \tilde{h} h~不增， g g g为凸，则 f f f为凹

h ~ \tilde{h} h~是 h h h 的 Legendre 变换，对于一个函数 h : R → R h:\R \rightarrow\R h:R→R，它的Legendre变换定义为：
h ~ ( t ) = s u p s ∈ R { t s − h ( s ) } \tilde{h}(t)=sup_{s\in R}\{ts-h(s)\} h~(t)=sups∈R{ts−h(s)}

推论

如果 g g g是凸函数，则 e g ( x ) e^{g(x)} eg(x)是凸函数
如果 g g g是正值凹函数，则 1 g ( x ) \frac{1}{g(x)} g(x)1是凸函数

7、与向量函数复合

给定函数 g : R n → R k g:\R^{n}\rightarrow \R^{k} g:Rn→Rk和 h : R k → R h:\R^{k} \rightarrow\R h:Rk→R，有 f ( x ) = h ( g ( x ) ) = h ( g 1 ( x ) , g 2 ( x ) , . . . , g k ( x ) ) f(x)=h(g(x))=h(g_{1}(x),g_{2}(x),...,g_{k}(x)) f(x)=h(g(x))=h(g1(x),g2(x),...,gk(x))，有以下4条结论成立：

h为凸， h ~ \tilde{h} h~每个分量不降， g g g为凸，则 f f f为凸
h为凸， h ~ \tilde{h} h~每个分量不增， g g g为凹，则 f f f为凸
h为凹， h ~ \tilde{h} h~每个分量不降， g g g为凹，则 f f f为凹
h为凹， h ~ \tilde{h} h~每个分量不增， g g g为凸，则 f f f为凹

推论

如果 g i g_i gi是凸函数，则 l o g ∑ i = 1 m e g ( x ) log\sum_{i=1}^m e^{g(x)} log∑i=1meg(x)是凸函数
如果 g i g_i gi是正值凹函数，则 ∑ i = 1 m l o g g i ( x ) \sum_{i=1}^mlog{g_i(x)} ∑i=1mloggi(x)是凹函数

三、构造性凸分析

从作为表达式给出的函数 f 开始
为表达式构建解析树
- 叶子是变量或常量
- 节点是子表达式的函数
使用组合规则将子表达式标记为凸、凹、仿射或无
如果根节点标记为凸（凹），则 f 为凸（凹）

四、透视与共轭

（一）透视函数

定义 f : R n → R f:\R^{n}\rightarrow \R f:Rn→R 和 g : R n × R → R g:\R^{n}×\R \rightarrow\R g:Rn×R→R，且

g ( x , t ) = t f ( x t ) , d o m g = { ( x , t ) ∣ x t ∈ d o m f , t > 0 } g(x,t)=tf(\frac{x}{t}),\quad domg=\{(x,t)|\frac{x}{t}\in domf,t>0\} g(x,t)=tf(tx),domg={(x,t)∣tx∈domf,t>0}

若 f f f是凸函数，则 g g g是凸函数。

f ( x ) = x T x f(x)=x^{T}x f(x)=xTx是凸函数，因此 g ( x , t ) = x T x t g(x,t)=\frac{x^{T}x}{t} g(x,t)=txTx是区域 { ( x , t ) ∣ t > 0 } \{(x,t)|t>0\} {(x,t)∣t>0}上的凸函数
f ( x ) = − l o g x f(x)=-logx f(x)=−logx是凸函数，因此相对熵函数 g ( x , t ) = t l o g t − t l o g x g(x,t)=tlogt-tlogx g(x,t)=tlogt−tlogx是 R + + 2 \R^{2}_{++} R++2上的凸函数
若 f f f是凸函数，那么 g ( x ) = ( c T x + d ) f ( A x + b c T x + d ) g(x)=(c^{T}x+d)f(\frac{Ax+b}{c^{T}x+d}) g(x)=(cTx+d)f(cTx+dAx+b)是区域 { x ∣ c T x + d > 0 , A x + b c T x + d ∈ d o m f } \{x|c^{T}x+d>0,\frac{Ax+b}{c^{T}x+d}\in domf\} {x∣cTx+d>0,cTx+dAx+b∈domf}上的凸函数

（二）共轭函数

任一适当函数 f f f的共轭函数定义为：
f ∗ ( y ) = s u p x ∈ d o m f { y T x − f ( x ) } f^∗(y)=sup_{x∈dom\ f} \{y^Tx−f(x)\} f∗(y)=supx∈dom f{yTx−f(x)}

对任意函数 f f f都可以定义为共轭函数，也即不要求 f f f是凸的（因为共轭函数是一组仿射函数的上界，因此不论 f f f凹凸性， f ∗ f^{*} f∗必为凸函数）

根据凸性充要条件， f ( x ) f(x) f(x)在 ∀ x ∈ D ⊂ R \forall x\in D\subset\R ∀x∈D⊂R的切线都是对 f ( x ) f(x) f(x)的下界，即 f ( x ) ≥ f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) = f ′ ( x 0 ) x + f ( x 0 ) − f ′ ( x 0 ) x 0 f(x)\geq f(x_{0})+f^{'}(x_{0})(x-x_{0})=f^{'}(x_{0})x+f(x_{0})-f^{'}(x_{0})x_{0} f(x)≥f(x0)+f′(x0)(x−x0)=f′(x0)x+f(x0)−f′(x0)x0
反过来，如果确定斜率 k k k，就可以得到一组平行线 { k x + b : b ∈ R } \{kx+b:b\in \R\} {kx+b:b∈R}，从 − ∞ -\infty −∞ 增大 b b b，直到直线与 f ( x ) f(x) f(x)相切时有 f ( x ) ≥ k x + b f(x)\geq kx+b f(x)≥kx+b，也即 − b ≥ k x − f ( x ) -b\geq kx- f(x) −b≥kx−f(x)，此不等式在 D D D上恒成立，并且能够取相等，因此 − b = s u p x ∈ D ( k x − f ( x ) ) = f ∗ ( y ) -b=\mathop{sup}\limits_{x\in D}(kx-f(x))=f^{*}(y) −b=x∈Dsup(kx−f(x))=f∗(y)

f ∗ ( y ) f^*(y) f∗(y)给出了斜率为 y y y且与 f ( x ) f(x) f(x)相切直线截距的相反数，或者说共轭函数 f ∗ ( y ) f^*(y) f∗(y)表示了线性函数 y T x y^Tx yTx和 f ( x ) f(x) f(x)之间的最大差异。

五、拟凸性

（一）拟凸函数(quasiconvex function) 定义

若 dom f \text{dom}f domf为凸集，且对任意的 α \alpha α，其下水平集 S α = { x ∈ dom f ∣ f ( x ) ≤ α } S_\alpha = \{x\in\text{dom}f | f(x)\le\alpha\} Sα={x∈domf∣f(x)≤α}都是凸集，则 f f f为拟凸函数。

如果 f f f是拟凸的，那么 − f -f −f就是拟凹函数
如果一个函数既是拟凸函数又是拟凹函数，那么它是拟线性(quasilinear) 的

（二）常见的拟凸、拟凹、拟线性函数

拟凸函数：

f ( x ) = ∣ x ∣ f(x)=\sqrt{|x|} f(x)=∣x∣
f ( x ) = ∣ ∣ x − 1 ∣ ∣ 2 ∣ ∣ x − b ∣ ∣ 2 , d o m f = { x ∣ ∣ ∣ x − a ∣ ∣ 2 ≤ ∣ ∣ x − b ∣ ∣ 2 } f(x)=\frac{||x-1||_2}{||x-b||_2},domf=\{x|\ ||x-a||_2\leq||x-b||_2\} f(x)=∣∣x−b∣∣2∣∣x−1∣∣2,domf={x∣ ∣∣x−a∣∣2≤∣∣x−b∣∣2}

拟凹函数：

f ( x ) = x 1 x 2 o n R 2 f(x)=x_1x_2\ on\ R^2 f(x)=x1x2 on R2

拟线性函数：

c e i l ( x ) = i n f { z ∈ Z ∣ z ≥ x } ceil(x)=inf\{z\in Z|z\geq x\} ceil(x)=inf{z∈Z∣z≥x}
l o g x o n R + + log\ x\ on\ R_{++} log x on R++
线性微分函数 f ( x ) = a T x + b c T x + d , d o m f = { c T x + d > 0 } f(x)=\frac{a^Tx+b}{c^Tx+d},domf=\{c^Tx+d>0\} f(x)=cTx+daTx+b,domf={cTx+d>0}

（三）拟凸函数的性质

修正 Jensen 不等式：函数 f f f为拟凸的等价于：定义域为凸集，且
0 ≤ θ ≤ 1 ⟹ f ( θ x + ( 1 − θ ) y ) ≤ max ⁡ { f ( x ) , f ( y ) } 0\le\theta\le1 \Longrightarrow f(\theta x+(1-\theta)y)\le\max\{f(x),f(y)\} 0≤θ≤1⟹f(θx+(1−θ)y)≤max{f(x),f(y)}
一阶条件：具有凸域的可微 f 是拟凸当且仅当：
f ( y ) ≤ f ( x ) ⟹ Δ f ( x ) T ( y − x ) ≤ 0 f(y)\leq f(x) \Longrightarrow \Delta f(x)^T(y-x)\leq 0 f(y)≤f(x)⟹Δf(x)T(y−x)≤0
拟凸函数之和不一定是拟凸函数

参考：
凸函数
 （最优化理论与方法）第二章最优化所需基础知识-第七节：保凸的运算和共轭函数