一生负气成今日
四海无人对夕阳
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树的专辑
1.有n个元素的完全二叉树的深度是（ ）
A.nlogn
B.nlogn+1
C.logn
D.logn+1
答案：D
解析：
设完全二叉树的节点数为 N，高度为 h ，高度为 h 时空的结点个数为 x
我们根据完全二叉树的性质得： 
所以 
然后向上取整 
2.设一棵二叉树中有3个叶子结点，有8个度为1的结点，则该二叉树中总的结点数为（ ）个
A.11
B.12
C.13
D.14
答案：C
解析：
设 Ni 表示度为 i 的节点个数，则节点总数 N = N0 + N1 + N2
节点个数于节点边的关系：
N 个节点的树有 N-1 个边
边与度的关系：N - 1 = N1 + 2 * N2
故：N0 + N1 + N2 - 1 = N1 + 2 * N2
因此，得：N0 = N2 + 1
回到原题，N0 = 3，N1 = 8，可得N2 = 2
因此答案是 3 + 8 + 2 = 13
3.一颗完全二叉树有1001个结点，其叶子结点的个数是（ ）
A.251
B.500
C.501
D.不能确定
答案：C
解析：
首先我们知道任意一棵二叉树都有 N0 = N2 + 1 性质（设 Ni 表示度为 i 的节点个数）
另外，在完全二叉树中，如果节点总个数为奇数，则没有度为 1 的节点，如果节点总个数为偶数，只有一个度为 1 的节点
我们分类讨论即可：
当节点数为偶数时，N = N2 + N0 + 1 即 N = 2N0 （因为算出是分数，所以不合理，即没有度为1的节点）
当节点数为奇数时，N = N2 + N0 即 N = 2N0 - 1 (解出的结果得：N0 = 501)
4.在一颗度为3的树中，度为3的结点有2个，度为2的结点有1个，度为1的结点有2个，则叶子结点有（ ）个
A.4
B.5
C.6
D.7
答案：C
解析：
设度为 i 的节点个数为 Ni，该树总共有 N 个节点，则 N = N0 + N1 + N2 + N3
根据我们之前所学的知识：我们知道：一颗 N 节点的数有N-1条边 （ 该树中除了根节点没有前驱以外，每个节点有且只有一个前驱**）**
根据度的定义，总边数与度之间的关系为：N-1 = 0*N0 + 1*N1 + 2*N2 + 3*N3
带入节点联立 N = N0 + N1 + N2 + N3和N-1 = 0*N0 + 1*N1 + 2*N2 + 3*N3****两个方程
解得：N0 = 6
5.一颗拥有1000个结点的树度为4，则它的最小深度是（ ）
A.5
B.6
C.7
D.8
答案：B
解析：
如果这棵树每一层都是满的，则它的深度最小，假设它为一个四叉树，高度为h，则这个数的节点个数为 
节点数： 1 + 4*4^0 + 4*4^1 + 4*4^h-1 1 2 3 h 层 层 层 层 整棵树的节点得：4^0+4^1+4^2+...+4^(h-1) 等比数列求和=（4^h-1）/3
当 h = 5，最大节点数为 341， 当 h = 6，最大节点数为 1365，所以最小深度应该为 6
6.已知某二叉树的前序遍历序列为5 7 4 9 6 2 1，中序遍历序列为4 7 5 6 9 1 2，则其后序遍历序列为（ ）
A.4 2 5 7 6 9 1
B.4 2 7 5 6 9 1
C.4 7 6 1 2 9 5
D.4 7 2 9 5 6 1
答案：C
解析：
我们可以通过：前序遍历找到子树的根，在中序遍历中找到根的位置，然后确定根左右子树的区间
首先我们根据前序找到根节点：
5****7 4 9 6 2 1
然后在中序中找到根节点的位置：
4 756 9 1 2
这个时候 4 7 就是 5 的左子树，6 9 6 2 1 就是 5 的右子树
然后我们可以根据这个规律将这颗树补全：
我们再回到前序：7****4 9 6 2 1
这个时候 7 就是5的左子树即当前的根
再回到中序：476 9 1 2
这个时候 4 就是 7 的左子树
再回到前序：9 6 2 1
这个时候 开始构建右子树，而 9 就是 5 的右子树即当前根
再回到中序：691 2
这个时候 6 就是 9 的左子树，1 2 在 9 的右子树上
再回到前序：2 1
这个时候 2 就是 9 的右子树即当前根
再回到中序：1****2
这个时候 1 就是 2 的左子树，这个时候树已经构建完成了
我们再根据后序遍历的规律就可以得出答案了 ! ! !
7.如果一颗二叉树的前序遍历的结果是ABCD，则满足条件的不同的二叉树有（ ）种
A.13
B.14
C.15
D.16
答案：B
解析：
首先这棵二叉树的高度一定在3~4层之间:
三层：
A(B(C,D),()), A((),B(C,D)), A(B(C,()),D), A(B((),C),D),
A(B,C(D,())), A(B,C((),D))
一共 6 种
四层：
如果为四层，就是单边树，每一层只有一个节点，除过根节点A，其他节点都有两种选择，在上层节点的左边还是右边，所以2*2*2共8种
总共为 14 种
8.设根结点的深度为1，则一个拥有n个结点的二叉树的深度一定在（ ）区间内
A.[log(n + 1)，n]
B.[logn，n]
C.[log(n + 1)，n - 1]
D.[log(n + 1)，n + 1]
答案：C
解析：
首先我们知道拥有n个结点的二叉树的：
最大深度的模型就是单边数，节点数即深度，也就是 n
最小深度的模型可以看作完全二叉树，根据性质： h = log(n+1) 向上取整
也就是说：二叉树的深度范围在 **[log(n + 1)，n]**之间
9.设某种二叉树有如下特点：每个结点要么是叶子结点，要么有2棵子树。假如一棵这样的二叉树中有m（m>0）个叶子结点，那么该二叉树上的结点总数为（ ）
A.2m+1
B.2(m-1)
C.2m-1
D.2m
答案：C
解析：
根据二叉树的性质，在任意的二叉树中，度为 0 的节点比度为 2 的节点多了 1 个
现在叶子节点为 m 个，即度为 0 的节点有 m 个，那度为 2 的节点个数就为 m-1 个
而题目说该二叉树中只有度为2和度为0的节点 ，因此总的节点数就为：N = m+m-1 = 2m-1
10.一棵非空的二叉树的先序遍历序列与后序遍历序列正好相反，则该二叉树一定满足（ ）
A.所有的结点均无左孩子
B.所有的结点均无右孩子
C.只有一个叶子结点
D.至多只有一个结点
答案：C
解析：
前序遍历：根 左 右
后序遍历：左 右 根
从二叉树 前序 和 后序遍历结果规则中可以看出，如果树中每个节点只有一个孩子时，遍历结果肯定是反的
比如下面这前序和中序序列所构成的树的结构：
故每个节点只有一个孩子，即只有一个叶子节点
11.设哈夫曼树中有199个结点，则该哈夫曼树中有（ ）个叶子结点。
A.100
B.99
C.101
D.102
答案：A
解析：
根据哈夫曼树的性质：两两节点相结合形成的树，所以没有度为 1 的节点
**再根据二叉树的特性：**度为 0 的节点比度为 2 的节点多了 1 个（即：N0 = N2 + 1）
**所以 N = N0 + N2 和 N0 = N2 + 1 联立解得：**N0 = 100
12.将一株有100个节点的完全二叉树从上到下，从左到右依次进行编号，根节点的编号为1，则编号为49的节点的 左孩子编号为（ ）
A.89
B.98
C.50
D.25
答案：B
解析：
**设父节点为parent，孩子节点为child，当前编号 n，**我们根据二叉树的性质得：
对于偶数节点（左孩子）其父节点：parent = n / 2
对于奇数节点（右孩子）其父节点：parent = (n-1) / 2
98 为偶数，其父节点编号为 98 / 2 = 49
13.由权值分别为 9、2、5、7、4 的5个叶子结点构造一棵哈夫曼树，则该树的带权路径长度为（ ）
A.65
B.45
C.55D.60
答案：D
解析：
首先我们需要构建一颗 哈夫曼树：
构建方法：
对于给定的有各自权值的 n 个结点
|---------------------------------------------------------------|
| <1>在 n 个权值中选出两个最小的权值，对应的两个结点组成一个新的二叉树，且新二叉树的根结点的权值为左右孩子权值的和 |
| <2>在原有的 n 个权值中删除那两个最小的权值，同时将新的权值加入到 n--2 个权值的行列中，以此类推 |
| <3>重复 1 和 2 ，直到所以的结点构建成了一棵二叉树为止，这棵树就是哈夫曼树 |
带权路径长度是指所有叶子结点深度乘以其权值之和，也就是**：****(2+4)*3 + (5+7+9)*2 = 60**