片头
嗨，小伙伴们，大家好！我们今天来学习数据结构之排序（上），今天我们先讲一讲3个排序，分别是直接插入排序、冒泡排序以及希尔排序。
1. 排序的概念及其应用
1.1 排序的概念
**排序：**什么是排序呢？排序，就是使一串记录，按照其中的某个或某些关键字的大小，递增或递减的排列起来的操作。
**稳定性：**假定在待排序的记录序列中，存在多个具有相同的关键字的记录，若经过排序，这些记录的相对次序保持不变，即在原序列中，r[i] = r[j]，且r[i]在r[j]之前，而在排序后的序列中，r[i]仍在r[j]之前，则称这种排序算法是稳定的；否则称为不稳定的。
**内部排序：**数据元素全部放在内存中的排序。
**外部排序：**数据元素太多不能同时放在内存中，根据排序过程的要求不能在内外存之间移动数据的排序。
一、插入排序
2.1.1 基本思想:
直接插入排序是一种简单的插入排序法，其基本思想是：
把待排序的记录按其关键码值的大小逐个插入到一个已经排好序的有序序列中，直到所有的记录插入完为止，得到一个新的有序序列。（简便记忆：将待排序的元素一个个插入到一个已经排好序的有序序列中，直到整个数列都有序为止）
emmm,听上去有点迷迷糊糊，我们来举个例子~
直接插入排序，大家平时都玩过，我们玩扑克牌时，最好让我们的牌按照从小到大的顺序排列，排好序之后，我们就方便出牌。
摸了一张牌后，怎么保证手里的牌是有序的？手里的牌本身是有序的，再摸一张牌，摸完后，插入到相应位置，继续保持手里的牌有序。
**插入排序的思想：**已经有一个有序序列，再摸一张牌起来，然后把它插入到合适的位置，保持它们继续有序。
**数组的本质：**最开始把第一个数当作是有序的，把后一个数（第二个数）往前插入；前2个数有序，第3个数插入；前3个数有序，第4个插入，依次类推......
**往前怎么插入呢？**如果插入的元素比前一个元素小，就将前一个元素往后挪动；如果插入的元素比前一个大，就放到前一个元素的后面。当 前n-1个数有序，（第n个元素）最后一个元素插入，数组排序完成。
2.1.2 直接插入排序
当插入第 i (i>=1)个元素时，前面的array[0],array[1],....,array[i-1]已经排好序，此时用array[i]的排序码与array[i-1],array[i-2],...的排序吗顺序进行比较，找到插入位置即将array[i]插入,原来位置上的元素顺序后移。
动图演示：
那我们要怎么实现直接插入排序呢？
排序这个部分，按2个步骤去完成：
①单趟 ②整体
单趟插入排序：
思想：把一个数往前面的有序区间插入，必须确保[0,end]区间是有序的。
比如，我在[0,end]这个区间是有序的，我要把end+1这个位置的值往[0,end]这个区间进行插入。
我们先假设arr数组里面已经存放了 "1" , "3" , "5" ，现在我们想要存放"7"
如果我们想要插入"2",该怎么做呢？
完整过程如下:
此时，"2"比"1"大，直接将"2"放到"1"的后面即可，换句话来说，将temp里面的值放入arr数组的end+1位置即可。
如果我们想要插入"0",该怎么做呢？
很简单，思路和刚才基本一致，我们一起来画一画图~
当执行到最后一次的时候,"0"比"1"小,因此将"1"往后挪动一位,同时end--,然后将"0"这个元素,也就是temp保存的值插入到 end+1 的位置，数组排序完成。
单趟插入排序的代码如下:
//直接插入排序
void InsertSort(int* a, int n) {
//单趟
int end;
int temp = a[end + 1]; //将end+1位置的值保存到temp变量里面
while (end >= 0) {
if (temp < a[end]) { //如果temp的值比end位置的值小
a[end + 1] = a[end]; //将end位置的值往后挪动
end--; //end继续找前一个元素
}
else {
break; //如果temp的值比end位置的值大，或者两者相等,跳出循环
}
}
//跳出循环有2种情况:
//①temp的值比end位置的值大或者两者相同,直接将temp的值放到end位置的后面(end+1位置)
//②temp的值比所有的值都小,循环结束,此时end为-1
//那我还是要将temp放到end后面, -1 + 1 = 0, 放到下标为0的位置
a[end + 1] = temp;
}
单趟的插入排序我们已经知道了，那么整体的插入排序怎么写呢？
我们可以发现,无论是上面2种情况的哪一种,插入的元素都是放到end的后面,也就是end+1的位置。基于这样一个原因,我们可以：
① 定义一个变量temp,把end+1位置的值保存起来
② 最坏的情况下,end<0即循环结束（end == -1，已经超出了数组的范围）,就是插入的值比所有的数都小
③跳出循环有2种情况:
- temp的值比end位置的值大或者两者相等,直接将temp的值放到end位置后面(end+1位置)
- temp的值比所有的值都小,循环结束,此时end为-1。那我还是要将temp的值放到end位置的后面(end+1位置), -1 + 1 = 0,将temp的值放到下标为0的位置。
综上, ①end起始位置是0, 默认[0,0]区间的元素是有序的。此时,end == 0,下标为0的元素当作是有序的,后一个元素向前插入；end == 1,前2个元素有序了,再把第3个元素往前插入；end == 2,前3个元素有序了,再把第4个元素往前插入,以此类推....... 当 **end == n-2,**前n-1个数已经有序,第n个数往前插入,整个数组有序。
因此，我们可以定义一个变量j, j 的范围在[0,n-2] , j的最后一个位置的值为 n-2 ,也就是说 j < n-1
2.1.3 直接插入排序的代码:
//直接插入排序
void InsertSort(int* a, int n) {
//end起始位置是0，初始时，[0,0]区间的元素是有序的
//end = 0,下标为0的元素当做是有序的,后一个元素往前插入
//end = 1,前2个元素有序了,再把第3个元素往前插入
//end = 2,前3个元素有序了,再把第4个元素往前插入
//.....
//end = n-2,当前n-1个元素已经有序了,将第n个元素往前插入,整个数组有序
//j的范围[0,n-2], j == n-2 --> j < n-1
for (int j = 0; j < n - 1; j++) {
int end = j;
//定义一个变量temp,把temp+1位置的值保存起来
int temp = a[end + 1];
//最坏的情况: end < 0即循环结束(end == -1,已经超出了数组的范围)
//插入的值比数组中所有的值都小
while (end >= 0) {
//如果temp的值比end位置的值小,将end位置的值向后挪动
if (temp < a[end]) {
a[end + 1] = a[end];
end--;
}
//如果temp的值比end位置的值大或者两者相同,跳出循环
else {
break;
}
}
//跳出循环有2种情况:
//①temp的值比end位置的值大或者两者相同,直接将temp的值放到end位置的后面(end+1位置)
//②temp的值比所有的值都小,循环结束,此时end为-1
//那我还是要将temp放到end后面, -1 + 1 = 0, 放到下标为0的位置
a[end + 1] = temp;
}
}
二、冒泡排序
2.2.1 基本思想
冒泡排序是一种基本的排序算法，通过重复地比较相邻的两个元素，并且交换位置，将最大的元素逐渐"冒泡"到最后面。冒泡排序的思想是重复地遍历待排序的元素，每次遍历比较相邻的两个元素，如果他们的顺序错误就交换位置，直到没有需要交换的元素为止。
具体实现时，首先从数组的第一个元素开始，与相邻的元素进行比较，如果顺序错误就交换位置，然后继续比较相邻的下一对元素，一直到数组的最后一个元素。这样一次遍历后，最大的元素就会"冒泡"到最后面。然后再从第一个元素开始，重复上述操作，直到整个数组都排好序。
动图展示:
单趟冒泡排序的思想: 把最大的数换到最后
如果i从1开始 ,i的最后一个位置为 n-1 , 将前一个元素和当前元素进行比较,也就是将 a[i-1] 和 a[i] 进行比较,如果前一个元素比当前元素大,则交换。当 i == n,循环结束。
如果i从0开始 ,i的最后一个位置为 n-2 , 将当前元素和后一个元素进行比较,也就是将 a[i] 和 a[i+1] 进行比较, 如果当前元素比后一个元素大,则交换。当 i == n-1,循环结束。
单趟冒泡排序的代码:
//2个数进行交换
void Swap(int* a, int* b) {
int temp = *a;
*a = *b;
*b = temp;
}
//冒泡排序
void BubbleSort(int* a, int n) {
//单趟
//如果i从1开始,i的结束位置在n-1
//将前一个元素a[i-1]和当前元素a[i]进行比较,如果前一个比当前元素大,进行交换
//如果i从0开始,i的结束位置在n-2
//将当前元素a[i]和后一个元素a[i+1]进行比较,如果当前元素比后一个元素大,进行交换
for (int i = 1; i < n; i++) {
if (a[i - 1] > a[i]) {
Swap(&a[i - 1], &a[i]);
}
}
}
我们已经知道了单趟的冒泡排序是如何实现的，那么整体的冒泡排序怎么做呢？
第一次冒泡，冒泡完毕后，结束位置在下标为 n-1 的位置**（i < n）;** 第二次冒泡，结束位置在下标为 n-2 的位置**（i < n-1）** ；第三次冒泡，结束位置在下标为 n-3 的位置**（i < n-2）** ；第四次冒泡，结束位置在下标为 n-4 的位置**（i < n-3）** ....... 当 i == 1 **（ i < n - (n-2) ）**时，冒泡结束。
2.2.2 冒泡排序的代码:
//2个数进行交换
void Swap(int* a, int* b) {
int temp = *a;
*a = *b;
*b = temp;
}
//冒泡排序
void BubbleSort(int* a, int n) {
//第一次冒泡,冒泡完毕后,结束位置在 n-1 --> i<n
//第二次冒泡,结束位置在 n-2 --> i<n-1
//第三次冒泡,结束位置在 n-3 --> i<n-2
//第四次冒泡,结束位置在 n-4 --> i<n-3
//....
//当 i==1 时,冒泡结束。
// i == 1 --> i == n-(n-1) --> i<2 --> i< n-(n-2)
// j的范围:[0,n-2], j == n-2 --> j<n-1
for (int j = 0; j < n - 1; j++) {
for (int i = 1; i < n-j; i++) {
if (a[i - 1] > a[i]) {
Swap(&a[i - 1], &a[i]);
}
}
}
}
算法优化:
如果遍历一遍数组后没有发生任何元素交换,说明每一个数，前一个都小于后一个，此时数组已经有序,排序就可以结束了。
优化过的代码如下:
//2个数进行交换
void Swap(int* a, int* b) {
int temp = *a;
*a = *b;
*b = temp;
}
//升级版冒泡排序
void BubbleSort1(int* a, int n) {
//第一次冒泡,冒泡完毕后,结束位置在 n-1 --> i<n
//第二次冒泡,结束位置在 n-2 --> i<n-1
//第三次冒泡,结束位置在 n-3 --> i<n-2
//第四次冒泡,结束位置在 n-4 --> i<n-3
//....
//当 i==1 时,冒泡结束。
// i == 1 --> i == n-(n-1) --> i<2 --> i< n-(n-2)
// j的范围:[0,n-2], j == n-2 --> j<n-1
for (int j = 0; j < n - 1; j++) {
//定义变量flag,假设此时数组是有序的
int flag = 1;
for (int i = 1; i < n - j; i++) {
if (a[i - 1] > a[i]) {
Swap(&a[i - 1], &a[i]);
//如果发生了交换,说明数组此时是无序的,flag为0
flag = 0;
}
}
//如果没有发生交换,说明数组已经有序
//不需要进行比较了直接跳出循环
if (flag == 1)
break;
}
}
三、希尔排序(最小增量排序)
希尔排序又称为缩小增量排序。它也是插入排序的一种，由希尔于1959年提出。
2.3.1 基本思想
希尔排序的基本思想是将待排序的元素分成几个子序列进行排序，通过逐步缩小子序列的间隔，最终使整个序列变为有序，具体步骤如下:
（1）首先确定一个增量gap,通常为数组的一半，然后将数组分成gap个子序列。
（2）分别对这些子序列进行插入排序，即对每个子序列进行直接插入排序，这样每个子序列都是部分有序的。
（3）再次选择一个较小的增量gap，重复步骤（2），直到gap为1。
（4）最后进行一次增量gap为1的插入排序，完成排序。
动图演示：
希尔排序的思想：改革直接插入排序,有什么方法能让数组接近有序呢？
我直接再来一趟插入排序。把排序分成2个部分，第1个部分: 预排序 。预排序的目标是：让数组接近有序；第2个部分：插入排序，目标是：让整个数组有序。
什么是预排序呢？
预排序是指：分组插入排序。目标：大的数更快换到后面的位置，小的数更快换到前面的位置
gap给多少的问题：
①gap越大，数据跳得越快，大的数更快换到后面位置，小的数更快换到前面位置，但是越不接近有序
②gap越小，数据跳得越慢，但是越接近有序，当gap == 1时，插入元素后就是有序。
2.3.2 希尔排序的代码：
//希尔排序
void ShellSort(int* a, int n) {
int gap = 3;
for(int j = 0; j < gap; j++) {
for (int i = j; i < n - gap; i += gap) {
int end = i;
int temp = a[end + gap];
while (end >= 0) {
if (temp < a[end]) {
a[end + gap] = a[end];
end = end - gap;
}
else {
break;
}
}
a[end + gap] = temp;
}
}
}
算法优化：
//希尔排序
void ShellSort(int* a, int n) {
int gap = n;
while(gap>1){
gap = gap / 3 + 1;
for (int i = 0; i < n - gap; i++ ) {
int end = i;
int temp = a[end + gap];
while (end >= 0) {
if (temp < a[end]) {
a[end + gap] = a[end];
end = end - gap;
}
else {
break;
}
}
a[end + gap] = temp;
}
}
}
希尔排序特性总结:
- 希尔排序是对直接插入排序的优化。
- 当gap>1时都是预排序，目的是让数组更接近有序。当gap==1时，数组已经接近有序的了，这样就会很快。这样整体而言，可以达到优化的效果。我们实现后可以进行性能测试的对比。
希尔排序的时间复杂度不好计算，因为gap取值的方法很多，导致很难去计算，因此在很多书中给出的希尔排序的时间复杂度都不固定。
片尾
今天我们学习了3个排序，分别是直接插入排序，冒泡排序以及希尔排序，希望能对看完文章的友友们有所帮助！！！
求点赞收藏加关注！！！
谢谢大家！！！
