我们在使用分类算法训练数据后，评价分类模型的优劣时，经常会遇到一个词，"基尼系数 "。
那么，什么是基尼系数呢？
本文将尝试用最简单的方式介绍什么是"基尼系数 "以及它的计算方法和意义。
希望能让大家对基尼系数有个直观的印象，而不仅仅是记住它枯燥的计算公式。
1. 从分类模型开始
首先，先假设有一个分类案例，包含2个种类 的数据（紫色和蓝色），每个分类的数据有10个 。
上图中的3种不同颜色的直线，代表3种不同参数的分类模型。
从图中可以看出：
- 绿色的线分类效果最好，完美分割了2个种类的数据
- 黄色次之，有3个蓝色的数据分类错误
- 红色的分类效果最差，有8个紫色的数据分类错误
对于上面这种简单的数据（只有2个维度 的10个数据 ）和简单的分类模型（线性分类 ）来说，
我们通过作图可以一眼看出哪个分类模型的效果最好。
而现实中的实际情况，往往是不仅数据量大，数据维度也很多，分类模型也不会仅仅是一条二维直线。
这时，无法像上面那样绘制出二维图形来，那么该如何去定量的评估一个分类模型的好坏呢？
2. 基尼系数
基尼系数 就是这样一种指标，通过一个分类模型的基尼系数 （Gini），来帮助我们判断分类模型的好坏。
2.1. 绿色模型
对于绿色的分类模型：
| 分类过程 | 分类结果 | 概率 |
|---|---|---|
| 选择 紫色 数据，并且被分类为 紫色 | 正确 | 50% |
| 选择 紫色 数据，并且被分类为 蓝色 | 错误 | 0% |
| 选择 蓝色 数据，并且被分类为 蓝色 | 正确 | 50% |
| 选择 蓝色 数据，并且被分类为 紫色 | 错误 | 0% |
概率计算方式说明：比如对于表格第一行，【选择 紫色 数据，并且被分类为 紫色 】的概率。
首先，【选择 紫色 数据】的概率为50%，因为总共20条 数据，紫色数据有10条 。
其次，【并且被分类为** 紫色**】的概率为100%，因为绿色的模型可以正确分类所有的数据。
所以，【选择 紫色 数据，并且被分类为 紫色 】的概率为 50% x 100% = 50%。
其余3行的概率同上一样计算。
2.2. 黄色模型
对于黄色的模型：
| 分类过程 | 分类结果 | 概率 |
|---|---|---|
| 选择 紫色 数据，并且被分类为 紫色 | 正确 | 50% |
| 选择 紫色 数据，并且被分类为 蓝色 | 错误 | 0% |
| 选择 蓝色 数据，并且被分类为 蓝色 | 正确 | 35% |
| 选择 蓝色 数据，并且被分类为 紫色 | 错误 | 15% |
对于上面表格中的第三行，【选择 蓝色 数据，并且被分类为 蓝色 】为什么是35%？
首先，【选择 蓝色 数据】的概率为50%，因为总共20条 数据，蓝色数据有10条 。
其次，【并且被分类为 蓝色 】的概率是70%，从图中可以看出黄色的模型 对于10条 蓝色数据，有7条 分类正确，有3条 被错误分类到紫色的那一类中了。
所以，【选择 蓝色 数据，并且被分类为 蓝色 】的概率为 50% x 70% = 35%。
表格第四行的15%也是同样方式计算出的。
2.3. 红色模型
最后，看下红色的模型：
| 分类过程 | 分类结果 | 概率 |
|---|---|---|
| 选择 紫色 数据，并且被分类为 紫色 | 正确 | 10% |
| 选择 紫色 数据，并且被分类为 蓝色 | 错误 | 40% |
| 选择 蓝色 数据，并且被分类为 蓝色 | 正确 | 50% |
| 选择 蓝色 数据，并且被分类为 紫色 | 错误 | 0% |
计算方式前面已经介绍，这里不再赘述。
2.4. 计算公式
3种 不同效果的分类模型 的分类效果统计在上面的表格中。
根据这些概率，我们如何给模型打分，从而确定模型好坏呢？
答案就是基尼系数 （Gini），这时我们再来看看基尼系数的计算公式：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> G i n i = ∑ i = 1 C p ( i ) × ( 1 − p ( i ) ) Gini = \sum_{i=1}^C p(i)\times (1-p(i)) </math>Gini=∑i=1Cp(i)×(1−p(i))
其中， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> C C </math>C是数据的总类别数量，本文的例子中有两类数据，所以 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> C = 2 C=2 </math>C=2
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> p ( i ) p(i) </math>p(i)是选择某个类别 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> i i </math>i的数据的概率。
下面来看看本文中的3个模型 的基尼系数分别是多少。
我们假设 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> p ( 1 ) p(1) </math>p(1)代表选中紫色 数据的概率； <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> p ( 2 ) p(2) </math>p(2)代表选中蓝色数据的概率
那么，对于绿色模型，
绿色线上部分 的基尼系数： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> G u p = p ( 1 ) × ( 1 − p ( 1 ) ) + p ( 2 ) ( 1 − p ( 2 ) ) G_{up} = p(1)\times(1-p(1)) + p(2)(1-p(2)) </math>Gup=p(1)×(1−p(1))+p(2)(1−p(2))
在绿色线上部分 ，全是紫色数据，所以 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> p ( 1 ) = 1 , p ( 2 ) = 0 p(1) = 1,\quad p(2)=0 </math>p(1)=1,p(2)=0；
因此， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> G u p = 1 × ( 1 − 1 ) + 0 × ( 1 − 0 ) = 0 G_{up} = 1\times(1-1)+0\times(1-0) = 0 </math>Gup=1×(1−1)+0×(1−0)=0
对于绿色线下部分 ，同理可计算出 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> G d o w n = 0 G_{down}=0 </math>Gdown=0
又因为绿色线上下部分 的数据量都是10条，各占总数据量的50%，
所以最终绿色模型整体的基尼系数： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> G g r e e n = 50 % G u p + 50 % G d o w n = 0 G_{green}=50\% G_{up} + 50\% G_{down} = 0 </math>Ggreen=50%Gup+50%Gdown=0
对于黄色模型：
在黄色线上部分 ，10个紫色数据，3个蓝色数据，所以 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> p ( 1 ) = 10 13 , p ( 2 ) = 3 13 p(1) = \frac{10}{13},\quad p(2)=\frac{3}{13} </math>p(1)=1310,p(2)=133，
因此， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> G u p = 10 13 × ( 1 − 10 13 ) + 3 13 × ( 1 − 3 13 ) ≈ 0.355 G_{up} = \frac{10}{13}\times(1-\frac{10}{13})+\frac{3}{13}\times(1-\frac{3}{13}) \approx 0.355 </math>Gup=1310×(1−1310)+133×(1−133)≈0.355
黄色线下部分 ，0个紫色数据，7个蓝色数据，所以 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> p ( 1 ) = 0 , p ( 2 ) = 1 p(1) = 0,\quad p(2)=1 </math>p(1)=0,p(2)=1，所以 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> G d o w n = 0 G_{down}=0 </math>Gdown=0
又因为黄色线上下部分 的数据量分别13条 和7条 ，各占总数据量的 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 13 20 , 7 20 \frac{13}{20},\quad \frac{7}{20} </math>2013,207，
所以最终黄色模型整体的基尼系数： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> G y e l l o w = 13 20 G u p + 7 20 G d o w n ≈ 0.23 G_{yellow}=\frac{13}{20} G_{up} + \frac{7}{20} G_{down} \approx 0.23 </math>Gyellow=2013Gup+207Gdown≈0.23
对于红色模型：
和上面同理计算出： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> G u p = 0 G_{up}=0 </math>Gup=0， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> G d o w n ≈ 0.494 G_{down} \approx 0.494 </math>Gdown≈0.494；
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> G r e d = 2 20 × G u p + 18 20 × G d o w n ≈ 0.444 G_{red} = \frac{2}{20} \times G_{up} + \frac{18}{20}\times G_{down} \approx 0.444 </math>Gred=202×Gup+2018×Gdown≈0.444
基尼系数是介于0~1的数值，且越小表示效果越好，
因为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> G g r e e n = 0 < G y e l l o w = 0.23 < G r e d = 0.444 G_{green}=0<G_{yellow}=0.23<G_{red}=0.444 </math>Ggreen=0<Gyellow=0.23<Gred=0.444
所以 绿色模型 优于 黄色模型 优于 红色模型。
3. 总结
通过比较不同模型的基尼系数的值，不仅可以一下看出分类模型的好坏，还可以根据数值的大小了解究竟好多少。
基尼系数也为我们训练分类模型时提供了一个优化的方向，
一方面，对于不同的分类模型，我们可以通过比较它们的基尼系数，确定哪种模型效果更好；
另一方面，对于同一个分类模型 ，我们可以通过观察其中每个分类的基尼系数（比如上面的 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> G u p G_{up} </math>Gup和 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> G d o w n G_{down} </math>Gdown），
从而确定那个分类的效果比较差，那就是重点优化的方向。