堆排序讲解 - 技术栈

前言

在讲堆的删除时，我们发现一步一步删除堆顶的数据，排列起来呈现出排序的规律，所以本节小编将带领大家进一步理解堆排序。

1.堆排序概念

那么什么是堆排序？

堆排序（Heap Sort）是一种基于堆数据结构的排序算法。它利用堆的性质（大堆或小堆）进行排序操作。堆排序的基本思想是通过构建堆，将待排序的数组转化为一个符合堆性质的堆结构，然后不断将堆顶元素与堆的最后一个元素进行交换，并调整堆，使剩余元素继续满足堆的性质。重复这个过程，直到整个数组有序。

堆排序的步骤如下：

构建大堆或小堆：将待排序的数组视为一个完全二叉树，通过从最后一个非叶子节点开始，依次对每个节点进行向下调整（Adjustdown）操作，构建出一个大堆或小堆。这个过程确保了堆的性质：对于大堆，父节点的值大于等于其子节点的值；对于小堆，父节点的值小于等于其子节点的值。
排序：交换堆顶元素（最大值或最小值）与堆的最后一个元素，并将堆的大小减一。然后对堆顶元素进行向下调整，使剩余元素继续满足堆的性质。重复这个过程，直到堆的大小为1，即所有元素都已经排好序。（运用堆删除的思想）
得到排序结果：经过上述步骤，数组中的元素就按照升序（从小到大）或降序（从大到小）排列了。

堆排序的时间复杂度为 O(nlogn)，其中 n 是待排序数组的大小。它具有原地排序的特点，不需要额外的存储空间。

堆排序的优点是稳定性较好，适用于大规模数据的排序。然而，堆排序的缺点是相对较慢，尤其在快速排序等其他排序算法的应用场景中，堆排序的性能可能不如其他算法。

2.堆的建立方法

2.1向下调整建立堆（补充）

在这里，堆的建立有两种，在二叉树的顺序结构中提到一种建堆的方法，通过尾插再进行向上调整，不过时间复杂度为O(N*logN),这里提供新的建堆方法，通过向下调整法，时间复杂度为O(N),不过再用此调整方法时，左右子树要是堆的结构。即**从倒数的第一个非叶子结点的子树开始调整，一直调整到根结点的树，**就可以调整成堆。
假设给一个数组 int a[]={4,2,8,1,5,6,9,7,2,7,9},通过向下调整法制造大堆。

2.2向上调整法

通过比较新插入元素与其父节点的值来判断是否需要进行交换。如果新插入元素的值大于父节点的值，就将它们进行交换，并更新索引值。这样，逐步向上调整，直到新插入元素找到了合适的位置，保证了堆的性质。

cs 复制代码

//向上调整
void Adjustup(Datatype* a,int child) {
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0) {
		if (a[child] > a[parent]) {
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
			break;
	}
}

2.3建堆时间复杂度分析

1.向下调整法

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void Adjustdown(Datatype* a, int n, int parent) {
	//假设法,假设左孩子大
	int child = parent * 2 + 1;
	
	while (child < n ) {
		if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child])
			child = child + 1;
		if (a[child] > a[parent]) {
			Swap(&a[child], &a[parent]);
		    parent = child;
		    child = parent * 2 + 1;
	}
		else break;
		
	}
}

2.向上调整法
向上调整法每层节点向上调整次数就是乘以层数

cs 复制代码

//向上调整
void Adjustup(Datatype* a,int child) {
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0) {
		if (a[child] > a[parent]) {
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
			break;
	}
}

注意:上述代码都是采用建大堆的代码，建小堆把部分大于符号改成小于。
因此向下调整法实质上是节点数少的层,调整次数越多，向上调整是节点数越多，调整次数越多。

3.排序建堆选择

升序：建大堆
降序：建小堆
每次将堆首元素与尾元素交换，然后向下调整，每交换一次，堆的大小要减一，因为我们是每次将最大或者最小的元素依次交换堆后面。
例如升序的一个过程如下图：

cs 复制代码

void HeapSort(int* a, int n)
{
	//降序，建小堆
	// 升序，建大堆
	//for (int i = 1; i < n; i++)
	//{
	//	Adjustup(a, i);
	//}
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		Adjustdown(a, n, i);
	}

	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		Swap(&a[0], &a[end]);
		Adjustdown(a, end, 0);
		--end;
	}
}

void TestHeap2()
{
	int a[] = {20,17,16,5,3,4 };
	HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(int));
	for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(int); i++) {
		printf("%d ", a[i]);
	}
}

4.TOP-K****问题

TOP-K 问题：即求数据结合中前 K 个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大 。
比如：专业前 10 名、世界 500 强、富豪榜、游戏中前 100 的活跃玩家等。
对于 Top-K 问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了 ( 可能数据都不能一下子全部加载到内存中) 。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：
若数据量小，可以直接建立相应的堆，在pop。
数据量很大的时候，可以采用以下方法：

用数据集合中前 K 个元素来建堆

前k个最大的元素，则建小堆
前k个最小的元素，则建大堆

用剩余的 N-K 个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素
将剩余 N-K 个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的 K 个元素就是所求的前 K 个最小或者最大的元素。
假如求一堆数中的前k个最小的数，则建大堆。
这里我们采用随机数来生成100个随机数，然后存入一个动态数组中，然后选出前10个最小的数。

cs 复制代码

void PrintTopK(int* a, int n, int k)
{
	// 1. 建堆--用a中前k个元素建堆
	for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--) {
		Adjustdown(a, k, i);
	}
	// 2. 将剩余n-k个元素依次与堆顶元素交换，不满则则替换
	for (int j = n - k; j < n; j++) {
		if (a[j] < a[0]) {
			a[0] = a[j];
			Adjustdown(a, k, 0);
		}
	}
	printf("最小前%d个数:", k);
	for (int i = 0; i < k; i++) {
		printf("%d ", a[i]);
	}
}
void TestTopk()
{
	int n = 100;
	int* a = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
	srand(time(0));
	for (size_t i = 0; i < n; ++i)
	{
		a[i] = rand() % 100;
	}
	PrintTopK(a, n, 10);
	}

本节内容到此结束，谢谢各位友友的捧场，下节小编将带领大家继续了解二叉树的链式存储结构！！！

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