DFS序 & 欧拉序

【算法分析】
● DFS 序
DFS 序表示从根结点开始对树进行 DFS 所得的结点遍历顺序。

易得上图的 DFS 序为：1，2，3，4，5，6，7，8，9。可见，通过 DFS 序，可将一棵树映射为一个一维数组。
++假设以某结点 u 为根的子树大小为 cnt $u$ ，u 在整棵树中的 DFS 序为 dfs $u$ ，则可得结点 u 的所有子树对应的 DFS 序区间为++++ $dfs\[u$ ,dfs $u$ +cnt $u$ -1]++。 → 这条性质是编写本题代码的关键。
容易发现，一棵子树所有结点的 DFS 序是整棵树的 DFS 序的连续一段。例如，上图中以 d 为根的子树，它的各结点的 DFS 序++3,4,5,6++ 是整棵树的 DFS 序++1，2，3，4，5，6，7，8，9++中的连续一段。可见，借助DFS序，可以快速判断一个结点是否在某子树内。对某子树进行操作，相当于在对应的 DFS 序区间内进行操作。
利用链式前向星存图，求树的 DFS 序的代码如下：

cpp 复制代码

void dfs_seq(int u,int v) { //dfs sequence
    dfs[u]=++id;
    cnt[u]=1;
    for(int i=h[u]; ~i; i=ne[i]) {
        int j=e[i];
        if(j==v) continue;
        dfs_seq(j,u);
        cnt[u]+=cnt[j];
    }
    return ;
}

● 欧拉序
欧拉序与 DFS 序很像，但也有不同。欧拉序表示从根结点出发，按照 DFS 经过所有结点并返回根结点所得的结点遍历顺序（即返回时也要记录）。
若设 first $u$ 是欧拉序中某结点 u 第一次出现的位置，last $u$ 是欧拉序中 u 最后一次出现的位置，则以结点 u 为根的子树包含的结点，是欧拉序区间 $first\[u$ , last $u$ ] 之间的所有结点。换句话说，就是 $first\[u$ , last $u$ ] 之间的结点为 u 的子结点。
欧拉序有两种情况：
（1）DFS 时，第一次访问某结点时记录一次，随后每访问完该结点的一棵子树就再记录一次，一共有 2n-1 个编号。其中，n 是树中结点的个数。

易得上图的欧拉序为：1，2，3，4，3，5，3，6，3，2，7，2，1，8，9，8，1。这是第一种情况下的欧拉序。
针对第一种情况的欧拉序，具有如下性质：即++若设++++first $u$ ++++是欧拉序中某结点 u 第一次出现的位置，++++first $v$ ++++是欧拉序中某结点 v 第一次出现的位置，树上两结点 u, v 的最近公共祖先（LCA），为欧拉序区间++++ $first\[u$ , first $v$ ]++++或++++ $first\[v$ , first $u$ ]++++中时间戳最小的结点。其中，某结点的时间戳可以理解为第一次 DFS 遍历到该结点的顺序。++ ------→ 再次特别提醒，此性质仅适用于第一种情况下的欧拉序 。
利用链式前向星存图，在第一种情况下，求树的欧拉序的代码如下：

cpp 复制代码

void ola_seq1(int u,int v) { //ola sequence 1
    dfs[++id]=u;
    cnt[u]=1;
    for(int i=h[u]; ~i; i=ne[i]) {
        int j=e[i];
        if(j==v) continue;
        ola_seq1(j,u);
        dfs[++id]=u;
        cnt[u]+=cnt[j];
    }
    return ;
}

（2）DFS 时，每个结点入栈与出栈时分别记录一次，共 2n 个编号。其中，n 是树中结点的个数。

易得上图的欧拉序为：1，2，3，4，4，5，5，6，6，3，7，7，2，8，9，9，8，1。这是第二种情况下的欧拉序。
利用链式前向星存图，在第二种情况下，求树的欧拉序的代码如下：

cpp 复制代码

void ola_seq2(int u,int v) { //ola sequence 2
    dfs[++id]=u;
    cnt[u]=1;
    for(int i=h[u]; ~i; i=ne[i]) {
        int j=e[i];
        if(j==v) continue;
        ola_seq2(j,u);        
        cnt[u]+=cnt[j];
    }
    dfs[++id]=u;
    return;
}

● 链式前向星：https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/139369904
val $idx$ ：存储编号为 idx 的边的值
e $idx$ ：存储编号为 idx 的结点的值
ne $idx$ ：存储编号为 idx 的结点指向的结点的编号
h $a$ ：存储头结点 a 指向的结点的编号

【算法代码】
下面代码的功能为输入 n 个结点，然后输入 n 对整数对 a 和 b 表示 a 和 b 之间有连边。如果 b 是 -1，那么 a 就是树的根。之后，分别按树的 DFS 序及两种欧拉序访问、输出对应的结点值。
由于本题采用链式前向星存树，而链式前向星是典型的头插法构建方法，故输入与输出是逆序的。运行代码后，易见本题的输出与上文的图示相比，明显是逆序的。

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e3+5;
const int M=N<<1;
int root;
int dfs[N],cnt[N],id;
int h[N],e[M],ne[M],idx;
int n,m;

void add(int a,int b) {
    e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

void dfs_seq(int u,int v) { //dfs sequence
    dfs[u]=++id;
    cout<<u<<" ";
    cnt[u]=1;
    for(int i=h[u]; ~i; i=ne[i]) {
        int j=e[i];
        if(j==v) continue;
        dfs_seq(j,u);
        cnt[u]+=cnt[j];
    }
    return ;
}

void ola_seq1(int u,int v) { //ola sequence 1
    dfs[++id]=u;
    cout<<u<<" ";
    cnt[u]=1;
    for(int i=h[u]; ~i; i=ne[i]) {
        int j=e[i];
        if(j==v) continue;
        ola_seq1(j,u);
        dfs[++id]=u;
        cout<<u<<" ";
        cnt[u]+=cnt[j];
    }
    return;
}

void ola_seq2(int u,int v) { //ola sequence 2
    dfs[++id]=u;
    cout<<u<<" ";
    cnt[u]=1;
    for(int i=h[u]; ~i; i=ne[i]) {
        int j=e[i];
        if(j==v) continue;
        ola_seq2(j,u);
        cnt[u]+=cnt[j];
    }
    dfs[++id]=u;
    cout<<u<<" ";
    return;
}

int main() {
    cin>>n;
    memset(h,-1,sizeof(h));
    int a,b;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        cin>>a>>b;
        if(b==-1) root=a;
        else add(a,b),add(b,a);
    }

    id=0,dfs_seq(root,-1),cout<<endl;
    id=0,ola_seq1(root,-1),cout<<endl;
    id=0,ola_seq2(root,-1),cout<<endl;

    return 0;
}

/*
in:
9
1 -1
1 2
1 8
2 3
2 7
3 4
3 5
3 6
8 9

out:
1 8 9 2 7 3 6 5 4
1 8 9 8 1 2 7 2 3 6 3 5 3 4 3 2 1
1 8 9 9 8 2 7 7 3 6 6 5 5 4 4 3 2 1
*/

【参考文献】
https://www.cnblogs.com/stxy-ferryman/p/7741970.html
https://www.cnblogs.com/hetailang/p/16209936.html
https://blog.csdn.net/littlegengjie/article/details/134430600
https://blog.csdn.net/zht2002/article/details/128686361