【数据挖掘】机器学习中相似性度量方法-余弦相似度

写在前面:
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"相似性度量(similarity measurement)"系列文章:、
【数据挖掘】机器学习中相似性度量方法-欧式距离

Hello,大家好。

继续更新"相似性度量(similarity measurement)"系列文章,今天介绍的是余弦相似度。多的不说,少的不唠,下面开始今天的教程。

以下内容,完全是我根据参考资料和个人理解撰写出来的,不存在滥用原创的问题。

1、余弦相似度

余弦相似度(Cosine Similarity)是一种用于衡量两个非零向量之间角度 cosine 值的度量方法,以此来评估这两个向量在多维空间中的方向性相似度。它是通过计算两个向量的点积(内积)后,除以两个向量的模长(即长度)的乘积得到的。

2、计算公式

数学上,对于向量A=[ x 1 , x 2 , . . . , x n x_ 1,x_ 2,...,x_ n x1,x2,...,xn]和向量B=[ y 1 , y 2 , . . . , y n y_ 1,y_ 2,...,y_ n y1,y2,...,yn],余弦相似度cos( θ \theta θ)定义为:

S i m ( A , B ) = cos ⁡ ( θ ) = A ⋅ B ∥ A ∥ ∥ B ∥ = ∑ i = 1 n A i B i ∑ i = 1 n A i 2 ∑ i = 1 n B i 2 \ Sim(A,B)= \cos({\theta}) = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{\|\mathbf{A}\| \|\mathbf{B}\|} = \frac{\sum_{i=1}^{n} A_i B_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} A_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} B_i^2}} Sim(A,B)=cos(θ)=∥A∥∥B∥A⋅B=∑i=1nAi2 ∑i=1nBi2 ∑i=1nAiBi

  • A⋅B 表示向量 A 和向量 B 的点积
  • ∥𝐴∥和 ∥B∥ 分别表示向量 A 和向量 B 的模(即长度)
  • 𝜃是向量 A 和向量 B 之间的夹角

余弦相似度的值范围是 [-1, 1]:

  • cos( θ \theta θ)=1,表示向量A和B方向完全相同
  • cos( θ \theta θ)=-1,表示向量A和B方向完全相反
  • cos( θ \theta θ)=0,表示向量A和B正交,没有任何方向上的相似性

3、余弦距离

余弦距离(Cosine Distance),从余弦相似度转换为距离概念,也是用来衡量两个向量间的相似性。余弦距离定义为:
d ( A , B ) = 1 − cos ⁡ ( θ ) = 1 − A ⋅ B ∥ A ∥ ∥ B ∥ = 1 − ∑ i = 1 n A i B i ∑ i = 1 n A i 2 ∑ i = 1 n B i 2 \ d(A,B)= 1- \cos({\theta}) = 1- \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{\|\mathbf{A}\| \|\mathbf{B}\|} = 1- \frac{\sum_{i=1}^{n} A_i B_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} A_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} B_i^2}} d(A,B)=1−cos(θ)=1−∥A∥∥B∥A⋅B=1−∑i=1nAi2 ∑i=1nBi2 ∑i=1nAiBi

通过公式可以看到,余弦距离是由1减去余弦相似度得到的。

  • 如果A和B两个向量完全相同,它们的余弦相似度是1,则余弦距离就是0,即A和B两个向量之间没有距离,完全一致
  • 如果A和B两个向量完全相反,它们的余弦相似度是-1,则余弦距离就是2,即A和B两个向量之间距离最大

4、代码实现

编写代码实现余弦相似度或余弦距离,在Python中,可以使用numpy、scipy或者sklearn来计算两个向量之间的余弦相似度或余弦距离:

py 复制代码
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Fri Jun 14 22:36:45 2024

@author: AIexplore微信公众号
"""


import numpy as np
from sklearn.metrics.pairwise import cosine_similarity
from scipy.spatial.distance import cosine

import numpy as np

def cosine_similarity_v1(vector_a, vector_b):
    """
    计算两个向量的余弦相似度。
    
    参数:
    vector_a -- 第一个向量,类型为NumPy数组或列表
    vector_b -- 第二个向量,类型为NumPy数组或列表
    
    返回:
    两个向量的余弦相似度
    """
    # 将输入转换为NumPy数组(如果还不是的话)
    vector_a = np.array(vector_a)
    vector_b = np.array(vector_b)
    
    # 计算向量的点积
    dot_product = np.dot(vector_a, vector_b)
    
    # 计算向量的模长(欧几里得范数)
    norm_a = np.linalg.norm(vector_a)
    norm_b = np.linalg.norm(vector_b)
    
    # 防止除以零的错误
    if norm_a == 0 or norm_b == 0:
        return 0  # 如果任一向量为空,则认为相似度为0
    
    # 计算并返回余弦相似度
    return dot_product / (norm_a * norm_b)


def cosine_similarity_v2(vec1, vec2):
    vec1 = np.array(vec1)
    vec2 = np.array(vec2)
    # 计算余弦相似度
    cos_sim = 1 - cosine(vec1, vec2)  # cosine函数直接返回的是距离,所以用1减去得到相似度
    return cos_sim


def cosine_similarity_v3(vec1, vec2):
    vec1 = np.array([vec1])
    vec2 = np.array([vec2])
    sim = cosine_similarity(vec1, vec2)
    return sim[0][0]


# data
vec1 = [1, 2, 3]
vec2 = [4, 5, 6]

# 计算相似度
similarity = cosine_similarity_v1(vec1, vec2)
print("余弦相似度 v1:", similarity)

similarity = cosine_similarity_v2(vec1, vec2)
print("余弦相似度 v2:", similarity)

similarity = cosine_similarity_v3(vec1, vec2)
print("余弦相似度 v3:", similarity)

输出结果:

余弦相似度 v1: 0.9746318461970762
余弦相似度 v2: 0.9746318461970761
余弦相似度 v3: 0.9746318461970762

上面代码提供了三种实现方式,殊途同归,根据需要选择性使用。

5、应用场景

余弦相似度因其特性在多个领域和应用场景中扮演着重要角色,下面列举一些典型的应用场景:

  • 推荐系统:在电商、短视频、音乐平台等推荐系统中,通过计算用户历史偏好向量(基于用户对项目的评分或互动)和待推荐项目特征向量之间的余弦相似度,可以发现与用户兴趣最为接近的项目,从而实现个性化推荐
  • 图像识别与检索:在计算机视觉CV领域,将图像特征(如通过深度学习模型提取的特征向量等)映射到高维空间,利用余弦相似度来比较不同图像间的相似度,可以实现图像检索、图像分类以及内容相似的图像分组
  • 聚类分析:在无监督学习的聚类任务中,余弦相似度可用作距离度量,帮助将具有较高相似性的数据点聚集在一起,形成有意义的簇

当然,还可以应用到文本相似性判断、信息检索、社交网络分析、文本分类、用户行为分析等。

参考文章

[1]https://www.cnblogs.com/BlogNetSpace/p/18225493

[2]https://blog.csdn.net/Hyman_Qiu/article/details/137743190

[3]https://blog.csdn.net/qq_39780701/article/details/137007729

[4]https://www.cnblogs.com/ghj1976/p/yu-xian-xiang-shi-ducosine-similarity-xiang-guan-j.html

写在最后

作者介绍:CSDN人工智能领域优质创作者,CSDN博客专家,阿里云专家博主,阿里云技术博主,有机器学习、深度学习、OCR识别项目4年以上工作经验,专注于人工智能技术领域。会根据实际项目不定期输出一些非商业的技术,内容不限,欢迎各位朋友关注。
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