文章目录
- [一. 基本内容与重要结论](#一. 基本内容与重要结论)
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- [1. 特征值、特征向量、特征方程的概念](#1. 特征值、特征向量、特征方程的概念)
- [2. 矩阵相似](#2. 矩阵相似)
- [二. 重要定理](#二. 重要定理)
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- [1. 特征向量的有限次变换,还是特征向量](#1. 特征向量的有限次变换,还是特征向量)
- [2. 特征值与特征矩阵的关系](#2. 特征值与特征矩阵的关系)
- [3. 特征值与特征向量的相关性](#3. 特征值与特征向量的相关性)
- [4. 相似则有相同的特征值(只是必要条件)](#4. 相似则有相同的特征值(只是必要条件))
- [4.1. 相似的四个必要条件](#4.1. 相似的四个必要条件)
- [5. 矩阵对角化相关定理](#5. 矩阵对角化相关定理)
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- [5.1. 可对角化的充要条件](#5.1. 可对角化的充要条件)
- [5.2. 实对称矩阵必可对角化](#5.2. 实对称矩阵必可对角化)
- [6. **Schmidt**正交化方法](#6. Schmidt正交化方法)
本章要求
- 要理解特征值、特征向量的概念,掌握矩阵特征值的性质,掌握求矩阵特征值、特征向量的方法.
- 要理解矩阵相似的概念,掌握相似矩阵的性质,搞清矩阵能相似对角化的条件,掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.
- 要熟悉实对称矩阵特征值、特征向量的特殊性质,掌握用
正交矩阵化实对称矩阵
为对角矩阵的方法.
一. 基本内容与重要结论
1. 特征值、特征向量、特征方程的概念
跟齐次线性方程组结合 => 先求特征值然后再求特征向量
2. 矩阵相似
相似特性:
二. 重要定理
注意:每个特征值都会对应一个特征方程,通过特征方程来解对应特征值的特征向量。
1. 特征向量的有限次变换,还是特征向量
2. 特征值与特征矩阵的关系
3. 特征值与特征向量的相关性
4. 相似则有相同的特征值(只是必要条件)
4.1. 相似的四个必要条件
sql
若矩阵A与矩阵B均为n阶方阵,则A与B相似的必要条件为:
1、A与B的特征值相同。
2、λE-A与λE-B等价。
3、tr(A)=tr(B)。 对角元素之和
4、|A|=|B|。
5. 矩阵对角化相关定理
5.1. 可对角化的充要条件
每个特征值,该特征值的重数=其线性无关向量个数(因为每个特征值都会对应一个矩阵
)。
5.2. 实对称矩阵必可对角化
如果两个实对称的矩阵的特征值相同,则说明两个矩阵相似。
根据实对称矩阵必能对角化+矩阵的对称性,传递性,能够说明,以上结论。