【线性代数】第六章:特征值与特征向量

文章目录

  • [一. 基本内容与重要结论](#一. 基本内容与重要结论)
    • [1. 特征值、特征向量、特征方程的概念](#1. 特征值、特征向量、特征方程的概念)
    • [2. 矩阵相似](#2. 矩阵相似)
  • [二. 重要定理](#二. 重要定理)
    • [1. 特征向量的有限次变换,还是特征向量](#1. 特征向量的有限次变换,还是特征向量)
    • [2. 特征值与特征矩阵的关系](#2. 特征值与特征矩阵的关系)
    • [3. 特征值与特征向量的相关性](#3. 特征值与特征向量的相关性)
    • [4. 相似则有相同的特征值(只是必要条件)](#4. 相似则有相同的特征值(只是必要条件))
    • [4.1. 相似的四个必要条件](#4.1. 相似的四个必要条件)
    • [5. 矩阵对角化相关定理](#5. 矩阵对角化相关定理)
      • [5.1. 可对角化的充要条件](#5.1. 可对角化的充要条件)
      • [5.2. 实对称矩阵必可对角化](#5.2. 实对称矩阵必可对角化)
    • [6. **Schmidt**正交化方法](#6. Schmidt正交化方法)

本章要求

  1. 要理解特征值、特征向量的概念,掌握矩阵特征值的性质,掌握求矩阵特征值、特征向量的方法.
  2. 要理解矩阵相似的概念,掌握相似矩阵的性质,搞清矩阵能相似对角化的条件,掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.
  3. 要熟悉实对称矩阵特征值、特征向量的特殊性质,掌握用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法.

一. 基本内容与重要结论

1. 特征值、特征向量、特征方程的概念

跟齐次线性方程组结合 => 先求特征值然后再求特征向量

2. 矩阵相似

相似特性:

二. 重要定理

注意:每个特征值都会对应一个特征方程,通过特征方程来解对应特征值的特征向量。

1. 特征向量的有限次变换,还是特征向量

2. 特征值与特征矩阵的关系

3. 特征值与特征向量的相关性

4. 相似则有相同的特征值(只是必要条件)

4.1. 相似的四个必要条件

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若矩阵A与矩阵B均为n阶方阵,则A与B相似的必要条件为:
1、A与B的特征值相同。
2、λE-A与λE-B等价。
3、tr(A)=tr(B)。 对角元素之和
4、|A|=|B|。

参考:矩阵相似的四个必要条件及性质证明

5. 矩阵对角化相关定理

5.1. 可对角化的充要条件

每个特征值,该特征值的重数=其线性无关向量个数(因为每个特征值都会对应一个矩阵)。

5.2. 实对称矩阵必可对角化

如果两个实对称的矩阵的特征值相同,则说明两个矩阵相似。

根据实对称矩阵必能对角化+矩阵的对称性,传递性,能够说明,以上结论。

6. Schmidt正交化方法

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