Leetcode.2786 访问数组中的位置使分数最大

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Leetcode.2786 访问数组中的位置使分数最大 rating : 1732

题目描述

给你一个下标从 0 0 0 开始的整数数组 n u m s nums nums 和一个正整数 x x x 。

你 一开始 在数组的位置 0 0 0 处，你可以按照下述规则访问数组中的其他位置：

如果你当前在位置 i i i ，那么你可以移动到满足 i < j i < j i<j 的任意位置 j j j 。
对于你访问的位置 i i i ，你可以获得分数 n u m s $i$ nums $i$ nums $i$ 。
如果你从位置 i i i 移动到位置 j j j 且 n u m s $i$ nums $i$ nums $i$ 和 n u m s $j$ nums $j$ nums $j$ 的 奇偶性 不同，那么你将失去分数 x x x 。

请你返回你能得到的最大得分之和。

注意，你一开始的分数为 n u m s $0$ nums $0$ nums $0$ 。

示例 1：

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输入：nums = [2,3,6,1,9,2], x = 5
输出：13
解释：我们可以按顺序访问数组中的位置：0 -> 2 -> 3 -> 4 。
对应位置的值为 2 ，6 ，1 和 9 。因为 6 和 1 的奇偶性不同，所以下标从 2 -> 3 让你失去 x = 5 分。
总得分为：2 + 6 + 1 + 9 - 5 = 13 。

示例 2：

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输入：nums = [2,4,6,8], x = 3
输出：20
解释：数组中的所有元素奇偶性都一样，所以我们可以将每个元素都访问一次，而且不会失去任何分数。
总得分为：2 + 4 + 6 + 8 = 20 。

提示：

2 ≤ n u m s . l e n g t h ≤ 1 0 5 2 \leq nums.length \leq 10^5 2≤nums.length≤105
1 ≤ n u m s $i$ , x ≤ 1 0 6 1 \leq nums $i$ , x \leq 10^6 1≤nums $i$ ,x≤106

解法一：动态规划

定义 f $i$ $j$ f $i$ $j$ f $i$ $j$ 为前 n u m s nums nums 前 i i i 个元素，最后一个元素是奇数或者偶数 ( j = 0 , 是偶数 ; j = 1 , 是奇数 ) (j = 0,是偶数;j = 1,是奇数) (j=0,是偶数;j=1,是奇数) 的最大分数和。注意：最后一个元素不一定是第 i i i 个元素。

对于第 i i i 个元素 n u m s $i$ nums $i$ nums $i$ ，用 k k k 表示它的奇偶性质：

f $i$ $k$ = m a x ( f $i - 1$ $k$ , f $i - 1$ $k x o r 1$ − x ) + n u m s $i$ f $i$ $k$ = max(f $i -1$ $k$ , f $i-1$ $k\\ xor\\ 1$ - x) + nums $i$ f $i$ $k$ =max(f $i-1$ $k$ ,f $i-1$ $k xor 1$ −x)+nums $i$
f $i$ $k x o r 1$ = f $i - 1$ $k x o r 1$ f $i$ $k\\ xor\\ 1$ = f $i-1$ $k\\ xor\\ 1$ f $i$ $k xor 1$ =f $i-1$ $k xor 1$

由于 f f f 默认下标是从 1 1 1 开始的，而 n u m s nums nums 是从 0 0 0 开始的，所以需要做下转换：

f $i$ $k$ = m a x ( f $i - 1$ $k$ , f $i - 1$ $k x o r 1$ − x ) + n u m s $i - 1$ f $i$ $k$ = max(f $i -1$ $k$ , f $i-1$ $k\\ xor\\ 1$ - x) + nums $i - 1$ f $i$ $k$ =max(f $i-1$ $k$ ,f $i-1$ $k xor 1$ −x)+nums $i-1$
f $i$ $k x o r 1$ = f $i - 1$ $k x o r 1$ f $i$ $k\\ xor\\ 1$ = f $i-1$ $k\\ xor\\ 1$ f $i$ $k xor 1$ =f $i-1$ $k xor 1$

注意： f f f 需要初始化为一个相对较小的数字，因为 f $i - 1$ $k x o r 1$ − x f $i-1$ $k\\ xor\\ 1$ - x f $i-1$ $k xor 1$ −x 是有可能小于 0 0 0 的，如果 f f f 全部初始化为 0 0 0，并且此时恰好 f $i - 1$ $k$ = 0 f $i -1$ $k$ = 0 f $i-1$ $k$ =0，最终就会得到一个错误的结果。本来这里的答案应该是 f $i$ $k$ = f $i - 1$ $k x o r 1$ − x + n u m s $i - 1$ f $i$ $k$ = f $i-1$ $k\\ xor\\ 1$ - x + nums $i - 1$ f $i$ $k$ =f $i-1$ $k xor 1$ −x+nums $i-1$ ，最终却变成了 f $i$ $k$ = 0 + n u m s $i - 1$ f $i$ $k$ = 0 + nums $i - 1$ f $i$ $k$ =0+nums $i-1$ 。最终结果就会比标准答案偏大。

比如这个用例：

时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)

C++代码：

cpp 复制代码

using LL = long long;

class Solution {
public:
    long long maxScore(vector<int>& nums, int x) {
        int n = nums.size();
        vector<vector<LL>> f(n + 1, vector<LL>(2, -1e18));

        f[1][nums[0] & 1] = nums[0];
        for(int i = 2;i <= n;i++)
        {
            int k = (nums[i - 1] & 1);
            f[i][k] = max(f[i - 1][k], f[i - 1][k ^ 1] - x) + nums[i - 1];
            f[i][k ^ 1] = f[i - 1][k ^ 1];
        }

        return max(f[n][0], f[n][1]);
    }
};

解法二：动态规划 + 一维空间

我们注意到 f $i$ $k$ f $i$ $k$ f $i$ $k$ 实际只会依赖于 f $i - 1$ $k$ f $i-1$ $k$ f $i-1$ $k$ 和 f $i - 1$ $k x o r 1$ f $i - 1$ $k\\ xor\\ 1$ f $i-1$ $k xor 1$ ，所以我们可以直接降维，使用两个变量来模拟。

时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)

C++代码：

cpp 复制代码

using LL = long long;

class Solution {
public:
    long long maxScore(vector<int>& nums, int x) {
        int n = nums.size();
        vector<vector<LL>> f(n + 1, vector<LL>(2, -1e18));

        f[1][nums[0] & 1] = nums[0];
        for(int i = 2;i <= n;i++)
        {
            int k = (nums[i - 1] & 1);
            f[i][k] = max(f[i - 1][k], f[i - 1][k ^ 1] - x) + nums[i - 1];
            f[i][k ^ 1] = f[i - 1][k ^ 1];
        }

        return max(f[n][0], f[n][1]);
    }
};

Python3代码：

python3 复制代码

class Solution:
    def maxScore(self, nums: List[int], x: int) -> int:
        n = len(nums)
        f = [-inf] * 2
        f[nums[0] & 1] = nums[0]

        for i in range(1, n):
            k = (nums[i] & 1)
            f[k] = max(f[k], f[k ^ 1] - x) + nums[i]
        
        return max(f[0], f[1])