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一、引言
红黑树（Red-Black Tree）是一种自平衡的二叉搜索树，它可以在插入、删除和查找操作中保持相对高效的性能。由于其独特的性质，红黑树在计算机科学中得到了广泛的应用，特别是在需要动态维护有序数据集合的场景中。本文将详细介绍红黑树的基本概念、性质、实现以及应用。
二、红黑树的基本概念
红黑树是一种特殊的二叉搜索树，它在每个节点上附加了一个颜色属性（红色或黑色），并通过以下五个性质来维持树的平衡：
- 每个节点要么是红色，要么是黑色。
- 根节点是黑色。
- 每个叶子节点（NIL节点，空节点）是黑色。
- 如果一个节点是红色的，则它的两个子节点都是黑色的。
- 对于每个节点，从该节点到其所有后代叶子节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点。
三、红黑树的性质
红黑树的性质保证了它在插入、删除和查找操作中的高效性。以下是一些关键性质：
- 高度平衡：由于性质5的保证，红黑树的高度大致为O(log n)，其中n为树中节点的数量。因此，在红黑树中查找、插入和删除操作的时间复杂度均为O(log n)。
- 动态维护：红黑树在插入和删除节点时，通过一系列旋转和颜色调整操作来保持树的平衡。这些操作保证了红黑树在动态变化时仍能保持较高的性能。
四、红黑树的实现
红黑树的实现涉及到节点定义、插入操作、删除操作以及旋转和颜色调整等辅助操作。以下是一个简化的C++红黑树实现框架：
结构
cpp
enum Colour
{
RED,
BLACK
};
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
RBTreeNode<K, V>* _left;
RBTreeNode<K, V>* _right;
RBTreeNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv;
Colour _col;
RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _kv(kv)
, _col(RED)
{}
};
template<class K, class V>
class RBTree
{
typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
bool Insert(const pair<K, V>& kv)；
void RotateR(Node* parent)；
void RotateL(Node* parent)；
private:
Node* _root = nullptr;
};插入
cpp
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
cur->_col = RED;
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
while (parent && parent->_col == RED)
{
Node* grandfather = parent->_parent;
if (parent == grandfather->_left)
{
Node* uncle = grandfather->_right;
// 叔叔存在且为红
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
// 继续往上处理
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else // 叔叔不存在，或者存在且为黑
{
if (cur == parent->_left)
{
// g
// p u
// c
RotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{
// g
// p u
// c
RotateL(parent);
RotateR(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
else
{
Node* uncle = grandfather->_left;
// 叔叔存在且为红
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
// 继续往上处理
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else // 叔叔不存在，或者存在且为黑
{
// 叔叔不存在或者存在且为黑
// 旋转+变色
// g
// u p
// c
if (cur == parent->_right)
{
RotateL(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{
// g
// u p
// c
RotateR(parent);
RotateL(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
}
_root->_col = BLACK;
return true;
}
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
subL->_right = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
if (parent == _root)
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subL;
}
else
{
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
}
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
subR->_left = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
if (parent == _root)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_right == parent)
{
ppNode->_right = subR;
}
else
{
ppNode->_left = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
}五、红黑树的应用
红黑树在许多领域都有广泛的应用，包括但不限于：
- 关联容器 ：C++标准库中的
std::map和std::set就是基于红黑树实现的关联容器。它们支持高效的插入、删除和查找操作，并且能够动态地维护有序数据集合。 - 路由表：在计算机网络中，路由表通常使用红黑树来存储路由信息。由于路由表需要频繁地插入、删除和查找路由条目，红黑树的高效性使得路由表能够快速地响应网络变化。
- 数据库索引：在数据库中，索引是提高查询性能的关键。红黑树作为一种高效的动态数据结构，可以用于实现各种索引结构，如B+树等。