在矩阵分析和线性代数中，半正定矩阵（Positive Semi-Definite Matrix，简称PSD矩阵）是一类重要的矩阵。一个矩阵被称为半正定矩阵有以下几种等价的定义和性质：
定义
一个对称矩阵 M \mathbf{M} M被称为半正定矩阵，如果对于所有的非零向量 x \mathbf{x} x，都有：
x ⊤ M x ≥ 0 \mathbf{x}^\top \mathbf{M} \mathbf{x} \geq 0 x⊤Mx≥0
性质
- 特征值 ：一个对称矩阵 M \mathbf{M} M是半正定的，当且仅当其所有特征值都是非负的。
- 奇异值分解 ：一个矩阵 M \mathbf{M} M是半正定的，当且仅当它可以表示为 M = A ⊤ A \mathbf{M} = \mathbf{A}^\top \mathbf{A} M=A⊤A的形式，其中 A \mathbf{A} A是任意矩阵。
- 内积空间：在内积空间中，半正定矩阵对应的二次型不会改变向量的非负性质。
符号
符号 M ⪰ 0 \mathbf{M} \succeq 0 M⪰0表示矩阵 M \mathbf{M} M是半正定的。这意味着 M \mathbf{M} M满足上述条件。
示例
考虑一个 2 × 2 2 \times 2 2×2的对称矩阵：
M = ( 2 − 1 − 1 2 ) \mathbf{M} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} M=(2−1−12)
验证这个矩阵是否为半正定：
-
检查特征值：
计算特征方程的特征值：
det ( M − λ I ) = 0 \det(\mathbf{M} - \lambda \mathbf{I}) = 0 det(M−λI)=0
det ( 2 − λ − 1 − 1 2 − λ ) = 0 \det\begin{pmatrix} 2 - \lambda & -1 \\ -1 & 2 - \lambda \end{pmatrix} = 0 det(2−λ−1−12−λ)=0
计算行列式：
( 2 − λ ) 2 − ( − 1 ) 2 = 0 (2 - \lambda)^2 - (-1)^2 = 0 (2−λ)2−(−1)2=0
λ 2 − 4 λ + 3 = 0 \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 λ2−4λ+3=0
解这个二次方程：
λ = 3 或 λ = 1 \lambda = 3 \quad \text{或} \quad \lambda = 1 λ=3或λ=1
由于所有特征值都是非负的，因此矩阵 M \mathbf{M} M是半正定的。
-
检查二次型：
对于任意向量 x = ( x 1 x 2 ) \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} x=(x1x2)，
x ⊤ M x = ( x 1 x 2 ) ( 2 − 1 − 1 2 ) ( x 1 x 2 ) \mathbf{x}^\top \mathbf{M} \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} x⊤Mx=(x1x2)(2−1−12)(x1x2)
= 2 x 1 2 − 2 x 1 x 2 + 2 x 2 2 = 2x_1^2 - 2x_1 x_2 + 2x_2^2 =2x12−2x1x2+2x22
可以验证，对于任意向量 x \mathbf{x} x，这个二次型的值都是非负的。
应用
半正定矩阵在许多应用中都非常重要，包括但不限于：
- 优化理论：半正定矩阵在凸优化中非常重要，尤其是在二次规划问题中。
- 统计学：在协方差矩阵中，半正定性确保了协方差矩阵是有效的。
- 机器学习：在核方法中，核矩阵通常需要是半正定的，以确保其定义有效的内积空间。
- 控制理论：在控制系统中，半正定矩阵用于描述系统的稳定性和性能指标。
通过以上解释，希望能帮助你更好地理解半正定矩阵的概念、性质及其应用。