统计信号处理基础 习题解答11-12

题目

证明

的MAP估计量为

其中是一个的矢量,是一个可逆的p*p的矩阵。也就是说,MAP估计量对可逆的线性变换是可以变换的。


解答

已知的联合概率密度

且:

现在知道:

那么为了获得变换后的MAP,首先需要根据求出

根据概率密度变换的基本知识:

(具体可以参考:随机过程------随机变量的函数变换(换元)_连续型分布函数的变换-CSDN博客

又因为是可逆的,可以得到:

因此:

注意,上式本质上是雅可比行列式变换。由于不包含。因此,如果寻找不同的最大值,等同于寻找不同的最大值。而又根据的最大值出现在处,那么根据线性关系,就可以得到此时的就是达到最大值对应的,即:

最后,再利用两个估计量的线性关系,得到:

也就是MAP估计量(此例中的)对可逆的线性变换(此例中的),直接可以得到变换后新参数的MAP估计量(此例中的

注意MMSE估计量也有一样的线性性质,参见书(11.5)公式

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