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AVL树
AVL 树的意义：是二分查找树 BST 。二分查找树查找某个值时，时间复杂度是 O(h) ，因此，我们让树的尽可能平衡，即最大高度尽可能的小。因此有了 AVL 。
百度百科：在计算机科学中，AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1，所以它也被称为高度平衡树。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis，他们在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中发表了它。
BST 本质上是维护一个有序序列，AVL 树中的左旋右旋操作，并不会改变树的中序遍历结果。
上图中把 A 右旋是怎么做的呢？把 B 旋转到根节点，然后把 A 变成 B 的右孩子，把 E 补偿给 A 作为 A 的左孩子。
左旋和右旋
对节点 u 右旋：
- 根 u 的左儿子变成新的根 p
- 根的左儿子变成新的根 p 原本的右儿子
- 新的根 p 的右儿子变成了原本的根 u
- u 和 p 的高度都需要更新
cpp
void R(int& u)
{
int p = l[u];
l[u] = r[p], r[p] = u;
update(u), update(p);
u = p;
}对节点 u 左旋：
- 根 u 的右儿子变成新的根 p
- 根的右儿子变成新的根 p 原本的左儿子
- 新的根 p 的左儿子变成了原本的根 u
- u 和 p 的高度都需要更新
cpp
void L(int& u)
{
int p = r[u];
r[u] = l[p], l[p] = u;
update(u), update(p);
u = p;
}高度更新由左右儿子决定，因为求高度时，默认其两个儿子已经更新完高度了：
cpp
void update(int u)
{
h[u] = max(h[l[u]], h[r[u]]) + 1;
}插入的四种情况
（一）新数字插到了左子树，导致左子树比右子树高2；左孩子的左子树比其右子树高1
对于四种情况中的①。应该右旋 A 。
实例如上图，右旋 88 即可。
（二）新数字插到了左子树，导致左子树比右子树高2；左孩子的右子树比其左子树高1
对于四种情况中的③。应该左旋 B 再右旋 A 。
对应的情况如如下：
cpp
70
61
65
// 左旋 61
70
65
61
// 右旋 70
65
61 70（三）新数字插到了右子树，导致右子树比左子树高2；右孩子的右子树比其左子树高1
对于四种情况中的②。应该左旋 A 。
对应的情况如 88 96 120 ，左旋 88 即可。
（四）新数字插到了右子树，导致右子树比左子树高2；右孩子的左子树比其右子树高1
对于四种情况中的④。应该右旋 B 再左旋 A 。
对应的情况如如下：
cpp
70
96
88
// 右旋 96
70
88
96
// 左旋 70
96
70 88插入的代码
cpp
void insert(int& u, int w)
{
if (!u) u = ++ idx, v[u] = w;
else if (w < v[u])
{
insert(l[u], w);
if (get_balance(u) == 2)
{
if (get_balance(l[u]) == 1) R(u);
else L(l[u]), R(u);
}
}
else
{
insert(r[u], w);
if (get_balance(u) == -2)
{
if (get_balance(r[u]) == -1) L(u);
else R(r[u]), L(u);
}
}
update(u);
}如上，对于单一动作，总是旋转"发现者"；对于组合动作，先旋转"发现者"的子节点，再旋转"发现者"。
例题
- AVL树的根 1066 Root of AVL Tree (25 point(s))
- 判断完全 AVL 树 1123 Is It a Complete AVL Tree (30 point(s))