题意
给定一个非负整数数组 a a a
对每个长度至少为 2 2 2 的子数组，定义其权值 为：子数组内两两异或值最小 值
即 b ⊂ a [ l , r ] , w ( b ) = min l ≤ i < j ≤ r { a i ⨁ a j } b \subset a[l, r], \quad w(b) = \min_{l \leq i < j \leq r} \{a_i \bigoplus a_j\} b⊂a[l,r],w(b)=minl≤i<j≤r{ai⨁aj}
求出所有子数组中权值第 k k k 小的权值
思路
我们可以先二分答案 m i d mid mid，并且快速统计有多少个子数组的权值 ≤ m i d \leq mid ≤mid，记为 c n t cnt cnt，如果 c n t ≥ k cnt \geq k cnt≥k，说明答案可能比 m i d mid mid 更小，否则说明答案一定比 m i d mid mid 更大
问题在于如何快速统计 c n t cnt cnt？ 注意到其实随着子数组越大（越长），那么其权值一定是非递增 的，也就是说更大的子数组会有更大的可能性满足权值 w ≤ m i d w \leq mid w≤mid
基于上述的观察，我们考虑先枚举区间的右端点 r p rp rp，我们要选择最大 的 l p lp lp，使得 a [ l p , r p ] a[lp, rp] a[lp,rp] 里， 任意一个右端点在 r p rp rp 的子数组，其权值都大于 m i d mid mid，也即是 a [ l p , r p ] a[lp, rp] a[lp,rp] 里任意两两的异或权值都大于 m i d mid mid，等价于两两异或的最小值 大于 m i d mid mid
又由于我们是从小到大枚举 r p rp rp 的，那么上一轮的 r p − 1 rp - 1 rp−1 就对应着其极大的 l p lp lp，如果 l p lp lp 再小（即子数组更长），那么就会破坏上面的约束，使得最小值小于等于 m i d mid mid。
因此新加入 a r p a_{rp} arp 时，我们只需要在 01 T r i e 01 \; Trie 01Trie 上对 a r p a_{rp} arp 查询异或最小值（因为前面 [ l p , r p − 1 ] [lp, rp - 1] [lp,rp−1] 两两异或值都符合要求），不难发现，我们的 l p lp lp 是非递减的，这是一个双指针的过程。
对于一对极大的 [ l p , r p ] [lp, rp] [lp,rp]，右端点在 r p rp rp 的权值小于等于 m i d mid mid 的子数组数量为 l p − 1 lp - 1 lp−1，即左端点的选择范围是： [ 1 , l p − 1 ] [1, lp - 1] [1,lp−1]
当 l p lp lp 右移时（删除某些 a l p a_{lp} alp），我们只需要在 01 T r i e 01 \; Trie 01Trie 上擦除这些值即可
这样子就在 O ( n log A ) O(n \log A) O(nlogA) 下快速统计出了权值小于等于 m i d mid mid 的子数组数量
总体时间复杂度： O ( n log 2 A ) O(n \log ^ 2 A) O(nlog2A)
注意每次二分都要清空 T r i e Trie Trie
cpp
#include<bits/stdc++.h>
#define fore(i,l,r) for(int i=(int)(l);i<(int)(r);++i)
#define fi first
#define se second
#define endl '\n'
#define ull unsigned long long
#define ALL(v) v.begin(), v.end()
#define Debug(x, ed) std::cerr << #x << " = " << x << ed;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const long long INFLL=1e18;
typedef long long ll;
const int N = 100005;
struct node{
int son[2];
int cnt;
int idx;
}tree[N * 32];
int tot;
void clear(){
fore(i, 0, tot + 1){
tree[i].cnt = tree[i].idx =
tree[i].son[0] = tree[i].son[1] = 0;
}
tot = 0;
}
void insert(int x, int i){
int now = 0;
for(int i = 29; i >= 0; --i){
int ch = (x >> i & 1);
if(!tree[now].son[ch])
tree[now].son[ch] = ++tot;
now = tree[now].son[ch];
++tree[now].cnt;
}
tree[now].idx = i;
}
std::pair<int, int> query(int x){ //return [mn, idx]
int res = 0;
int now = 0;
for(int i = 29; i >= 0; --i){
int ch = (x >> i & 1);
int to = tree[now].son[ch];
if(to && tree[to].cnt){
now = to;
}
else{
res |= (1 << i);
now = tree[now].son[ch ^ 1];
}
}
return {res, tree[now].idx}; //返回异或最小值和产生的下标i
}
void erase(int x){
int now = 0;
for(int i = 29; i >= 0; --i){
int ch = (x >> i & 1);
now = tree[now].son[ch];
--tree[now].cnt;
}
}
int main(){
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(nullptr);
std::cout.tie(nullptr);
int t;
std::cin >> t;
while(t--){
int n;
ll k;
std::cin >> n >> k;
std::vector<int> a(n + 1);
fore(i, 1, n + 1) std::cin >> a[i];
ll ans = 0;
ll l = 0, r = 2e9;
while(l <= r){
clear();
ll mid = l + r >> 1;
int lp = 1, rp = 2;
ll cnt = 1ll * n * (n - 1) / 2;;
insert(a[1], 1);
while(rp <= n){
while(true){
if(lp == rp) break;
auto [mn, i] = query(a[rp]);
if(mn > mid) break;
while(lp <= i){
erase(a[lp]);
++lp;
}
}
if(lp < rp){
cnt -= rp - lp; //减去权值大于mid的子数组数量
}
insert(a[rp], rp);
++rp;
}
if(cnt >= k){
ans = mid;
r = mid - 1;
}
else l = mid + 1;
}
std::cout << ans << endl;
clear();
}
return 0;
}