Mercer 条件的基本概念及证明

Mercer 条件 是核函数理论中的一个重要概念,它确保了一个给定的对称函数可以表示为某个高维特征空间中的内积。这个条件在支持向量机(SVM)和其他基于核方法的机器学习算法中非常重要。


文章目录

  • 基本介绍
      • [Mercer 条件的定义](#Mercer 条件的定义)
      • [Mercer 定理](#Mercer 定理)
      • 实际应用
  • 证明
      • [1. 对称核函数的定义](#1. 对称核函数的定义)
      • [2. 半正定性](#2. 半正定性)
      • [3. 积分方程](#3. 积分方程)
      • [4. 特征值和特征函数](#4. 特征值和特征函数)
      • [5. Mercer 定理](#5. Mercer 定理)
      • [6. 证明细节](#6. 证明细节)

基本介绍

Mercer 条件的定义

设 K ( x , y ) K(x, y) K(x,y) 是一个定义在 X × X \mathcal{X} \times \mathcal{X} X×X 上的对称函数,其中 X \mathcal{X} X 是一个紧致的度量空间。Mercer 条件要求 K ( x , y ) K(x, y) K(x,y) 满足以下性质:

对于任意有限输入集 { x 1 , x 2 , ... , x n } ⊂ X \{x_1, x_2, \ldots, x_n\} \subset \mathcal{X} {x1,x2,...,xn}⊂X 和任意实值函数 f f f,有:

∬ K ( x , y ) f ( x ) f ( y )   d x   d y ≥ 0 \iint K(x, y) f(x) f(y) \, dx \, dy \geq 0 ∬K(x,y)f(x)f(y)dxdy≥0

这意味着 K ( x , y ) K(x, y) K(x,y) 是一个半正定函数。

Mercer 定理

根据 Mercer 定理,如果 K ( x , y ) K(x, y) K(x,y) 满足 Mercer 条件,那么它可以表示为某个特征映射 ϕ \phi ϕ 的内积,即:

K ( x , y ) = ∑ i = 1 ∞ λ i ϕ i ( x ) ϕ i ( y ) K(x, y) = \sum_{i=1}^{\infty} \lambda_i \phi_i(x) \phi_i(y) K(x,y)=i=1∑∞λiϕi(x)ϕi(y)

其中, λ i \lambda_i λi 是非负的特征值, ϕ i \phi_i ϕi 是对应的特征函数。这些特征函数构成了一个正交基,可以用来表示高维特征空间中的数据。

实际应用

在实际应用中,Mercer 条件确保了可以使用核函数 K ( x , y ) K(x, y) K(x,y) 来隐式地计算高维空间中的内积,而无需显式地计算特征向量 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x) 和 ϕ ( y ) \phi(y) ϕ(y)。这使得可以在低维空间中进行高效的计算,同时利用高维空间的特性来处理复杂的非线性问题。

常见的满足 Mercer 条件的核函数包括:

  1. 线性核函数 : K ( x , y ) = ⟨ x , y ⟩ K(x, y) = \langle x, y \rangle K(x,y)=⟨x,y⟩
  2. 多项式核函数 : K ( x , y ) = ( ⟨ x , y ⟩ + c ) d K(x, y) = (\langle x, y \rangle + c)^d K(x,y)=(⟨x,y⟩+c)d
  3. 高斯径向基函数(RBF)核函数 : K ( x , y ) = exp ⁡ ( − ∥ x − y ∥ 2 2 σ 2 ) K(x, y) = \exp\left(-\frac{\|x - y\|^2}{2\sigma^2}\right) K(x,y)=exp(−2σ2∥x−y∥2)
  4. Sigmoid核函数 : K ( x , y ) = tanh ⁡ ( α ⟨ x , y ⟩ + c ) K(x, y) = \tanh(\alpha \langle x, y \rangle + c) K(x,y)=tanh(α⟨x,y⟩+c)

证明

Mercer 条件的证明 涉及到泛函分析和积分方程理论, 依赖于对称核函数的性质和紧致度量空间上的积分方程理论。

1. 对称核函数的定义

设 K ( x , y ) K(x, y) K(x,y) 是一个定义在紧致度量空间 X \mathcal{X} X 上的对称函数,即 K ( x , y ) = K ( y , x ) K(x, y) = K(y, x) K(x,y)=K(y,x)。

2. 半正定性

Mercer 条件要求 K ( x , y ) K(x, y) K(x,y) 是半正定的,这意味着对于任意有限输入集 { x 1 , x 2 , ... , x n } ⊂ X \{x_1, x_2, \ldots, x_n\} \subset \mathcal{X} {x1,x2,...,xn}⊂X 和任意实值函数 f f f,有:

∬ K ( x , y ) f ( x ) f ( y )   d x   d y ≥ 0 \iint K(x, y) f(x) f(y) \, dx \, dy \geq 0 ∬K(x,y)f(x)f(y)dxdy≥0

3. 积分方程

考虑 K ( x , y ) K(x, y) K(x,y) 作为积分算子 T T T 的核,定义为:

( T f ) ( x ) = ∫ K ( x , y ) f ( y )   d y (Tf)(x) = \int K(x, y) f(y) \, dy (Tf)(x)=∫K(x,y)f(y)dy

4. 特征值和特征函数

根据积分方程理论,对称核函数 K ( x , y ) K(x, y) K(x,y) 可以分解为特征值和特征函数的级数展开:

K ( x , y ) = ∑ i = 1 ∞ λ i ϕ i ( x ) ϕ i ( y ) K(x, y) = \sum_{i=1}^{\infty} \lambda_i \phi_i(x) \phi_i(y) K(x,y)=i=1∑∞λiϕi(x)ϕi(y)

其中, λ i \lambda_i λi 是非负的特征值, ϕ i \phi_i ϕi 是对应的特征函数,并且这些特征函数构成了一个正交基。

5. Mercer 定理

Mercer 定理表明,如果 K ( x , y ) K(x, y) K(x,y) 满足 Mercer 条件,那么它可以表示为上述特征值和特征函数的级数展开形式。这意味着 K ( x , y ) K(x, y) K(x,y) 可以表示为某个高维特征空间中的内积。

6. 证明细节

证明的具体细节涉及到泛函分析中的谱理论和积分方程的解法。通过对称核函数的性质和紧致度量空间上的积分方程理论,可以证明 K ( x , y ) K(x, y) K(x,y) 的半正定性保证了其可以分解为特征值和特征函数的级数展开形式。


相关推荐
IT学长编程10 小时前
计算机毕业设计 基于深度学习的酒店评论文本情感分析研究 Python毕业设计项目 Hadoop毕业设计选题 机器学习选题【附源码+文档报告+安装调试】
hadoop·python·深度学习·机器学习·数据分析·毕业设计·酒店评论文本情感分析
金井PRATHAMA10 小时前
认知语义学对人工智能自然语言处理的深层语义分析:理论启示与实践路径
人工智能·自然语言处理·知识图谱
小王爱学人工智能10 小时前
OpenCV的特征检测
人工智能·opencv·计算机视觉
羊羊小栈10 小时前
基于「YOLO目标检测 + 多模态AI分析」的铁路轨道缺陷检测安全系统(vue+flask+数据集+模型训练)
人工智能·yolo·目标检测·语言模型·毕业设计·创业创新·大作业
钝挫力PROGRAMER10 小时前
GPT与BERT BGE
人工智能·gpt·bert
Baihai IDP10 小时前
2025 年大语言模型架构演进:DeepSeek V3、OLMo 2、Gemma 3 与 Mistral 3.1 核心技术剖析
人工智能·ai·语言模型·llm·transformer
☼←安于亥时→❦10 小时前
PyTorch之张量创建与运算
人工智能·算法·机器学习
nuczzz10 小时前
pytorch非线性回归
人工智能·pytorch·机器学习·ai
~-~%%11 小时前
Moe机制与pytorch实现
人工智能·pytorch·python
深耕AI11 小时前
【PyTorch训练】为什么要有 loss.backward() 和 optimizer.step()?
人工智能·pytorch·python