【密码学】大整数分解问题和离散对数问题

公钥密码体制的主要思想是通过一种非对称性,即正向计算简单,逆向计算复杂的加密算法设计,来解决安全通信。本文介绍两种在密码学领域内最为人所熟知、应用最为广泛的数学难题------大整数分解问题与离散对数问题

一、大整数分解问题

(1)问题的定义

假设 𝑁 是一个合数,且 𝑁=𝑝×𝑞,其中 𝑝 和 𝑞 都是大于1的大质数(又叫素数)。大整数分解问题的目标是,仅给定 𝑁,找到 𝑝 和 𝑞。更一般地,问题是找到所有质数因子,而不仅仅局限于两个因子的情况。

【注】质数(Prime Number)是指在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的数。换句话说,质数只能被1和它自身整除。例如,2、3、5、7、11、13等都是质数。

(2)非对称性的体现

  • 正向计算容易:找到两个大素数并计算它们的乘积是非常简单的。现代计算机可以迅速地找到这样的素数并对它们执行乘法操作。
  • 逆向计算困难:然而,给定𝑛来找出它的两个素数因子𝑝和𝑞是非常困难的。随着𝑛的位数增加,分解𝑛所需的计算资源呈指数级增长。当前的算法,在分解大整数时需要耗费大量的时间和计算能力,这使得在合理的时间内分解大整数变得不切实际。

(3)密钥生成与加解密简述

① 密钥生成算法

随机选择两个大素数p和q;计算;计算欧拉函数;选择一个整数e,使得1 < e < φ(N),且e与φ(N)互质;计算d作为e关于φ(N)的模逆元,即找到d满足de ≡ 1 (mod φ(N));

  • 公钥是(N, e),其中N是模数,e是加密指数;
  • 私钥是(d, N),其中d是解密指数,N同样是模数。

② 加密算法

发送方使用接收方的公钥对明文进行加密,生成密文

加密过程通常表示为

③ 解密算法

接收方使用自己的私钥对密文进行解密,恢复出明文

解密过程表示为
以RSA为例

二、离散对数问题

(1)问题的定义

给定一个有限域 G,以及该域中的一个生成元(或称为基)一个元素 ,离散对数问题可以这样表述:

对于任意给定的G中的非零元素,找到一个整数,使得次方模上 等于,即

如果这样的 存在,则称 相对于基 的离散对数。这里的"离散"一词,是因为群G通常是一个离散集合,而不是连续的。

【注】G称为模 𝑝 的有限域,其中 𝑝 必须是一个素数。这样所有加法、减法、乘法和除法运算的结果都会被取模 𝑝 来确保结果仍然在这个有限域内。

(2)非对称性的体现

  • 正向计算容易 :计算是非常直接且快速的,可以通过快速幂算法在多项式时间内完成。
  • 逆向计算困难:然而,给定𝑔和𝑦,找到𝑥是非常困难的,特别是在𝑝非常大的情况下。目前没有已知的多项式时间算法能够解决这个问题,尽管存在一些算法可以优化搜索过程,但当𝑝足够大时,这些算法仍然需要指数级的时间。

(3)密钥生成与加解密简述

① 密钥生成算法

以ElGamal加密算法为例。

  1. 选择一个大素数 p 、一个原根 g 和模 p。原根意味着 g 的所有幂次模 p 将遍历所有非零的模 p 的剩余类。

  2. 选择私钥 ,这是一个小于 的随机整数。

  3. 计算公钥 ,其中

公钥是,而私钥是

② 加密算法

假设 Alice 想要向 Bob 发送一条消息 ,并且 Bob 的公钥是

  1. 选择一个随机数 𝑘,其中 1<𝑘<𝑝−1

  2. 计算第一个加密分量

  3. 计算第二个加密分量

加密后的消息是

③ 解密算法

Bob 收到加密消息后,使用他的私钥 来解密:

  1. 计算中间值

  2. 计算消息

这里的 是指 𝑠 在模 𝑝 下的乘法逆元,也就是说,找到一个数 𝑧,使得

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