x趋于0时的等价替换及其适用条件
等价无穷小的定义 ：
若 lim β α = 1 \lim\dfrac{\beta}{\alpha}=1 limαβ=1，则 β \beta β 与 α \alpha α 是等价无穷小的，记作 α ∼ β \alpha \sim \beta α∼β. 即当两个函数相比取极限，如果极限值为1，则这两个函数是等价无穷小的。
常用的等价替换（x趋于0时）
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sin x ∼ x \sin x \sim x sinx∼x
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arcsin x ∼ x \arcsin x \sim x arcsinx∼x
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tan x ∼ x \tan x \sim x tanx∼x
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arctan x ∼ x \arctan x\sim x arctanx∼x
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e x − 1 ∼ x e^x -1\sim x ex−1∼x
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ln ( 1 + x ) ∼ x \ln(1+x) \sim x ln(1+x)∼x
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a x − 1 ∼ x ln a , ( a > 0 , a ≠ 1. ) a^x-1\sim x\ln a\ \ ,\ \ \ \ \ (a>0, a \neq1.) ax−1∼xlna , (a>0,a=1.)
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log a ( 1 + x ) ∼ x ln a , ( a > 0 , a ≠ 1. ) \log_a(1+x)\sim\dfrac{x}{\ln a}\ \ ,\ \ \ \ \ (a>0, a \neq1.) loga(1+x)∼lnax , (a>0,a=1.)
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1 − cos x ∼ 1 2 x 2 1-\cos x \sim \dfrac{1}{2}x^2 1−cosx∼21x2
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( 1 + x ) α − 1 ∼ α x (1+x)^\alpha -1\sim \alpha x (1+x)α−1∼αx
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( 1 + β x ) α − 1 ∼ α β x (1+\beta x)^\alpha -1\sim \alpha\beta x (1+βx)α−1∼αβx
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1 + x n − 1 ∼ 1 n x \sqrt[n]{1+x}-1\sim\dfrac{1}{n}x n1+x −1∼n1x
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x − sin x ∼ 1 6 x 3 x-\sin x\sim\dfrac{1}{6}x^3 x−sinx∼61x3
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arcsin x − x ∼ 1 6 x 3 \arcsin x-x\sim\dfrac{1}{6}x^3 arcsinx−x∼61x3
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tan x − x ∼ 1 3 x 3 \tan x -x\sim \dfrac{1}{3}x^3 tanx−x∼31x3
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x − arctan x ∼ 1 3 x 3 x-\arctan x\sim\dfrac{1}{3}x^3 x−arctanx∼31x3
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x − ln ( 1 + x ) ∼ 1 2 x 2 x-\ln(1+x) \sim \dfrac{1}{2}x^2 x−ln(1+x)∼21x2
- 等价替换的本质是当x趋于某一点时，两个函数在该点处相切，即两函数在该点处斜率相同且只有该点处一个交点。 斜率相同，意味着两函数在该点处具有相同的增长率，在x的值无尽逼近于该点时，两函数值几乎相同，所以在求极限的时候可以用等价替换，来简化问题。从斜率（函数变化率）的角度也更容易理解洛必达法则。
洛必达法则 ：设
(1) 当 x → a x\rightarrow a x→a 时，函数 f ( x ) f(x) f(x) 及 F ( x ) F(x) F(x) 都趋于 0；
(2) 在点 a a a 的某去心领域内， f ′ ( x ) f^{\prime}(x) f′(x) 及 F ′ ( x ) F^{\prime}(x) F′(x) 都存在且 F ′ ( x ) ≠ 0 F^{\prime}(x)\neq 0 F′(x)=0；
(3) lim x → a f ′ ( x ) F ′ ( x ) \lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f^{\prime}(x)}{F^{\prime}(x)} x→alimF′(x)f′(x) 存在（或为 ∞ \infty ∞）
则 lim x → a f ( x ) F ( x ) = lim x → a f ′ ( x ) F ′ ( x ) \lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{F(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f^{\prime}(x)}{F^{\prime}(x)} x→alimF(x)f(x)=x→alimF′(x)f′(x).
洛必达法则使用于以下类型的极限中：(未定式类型)
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0 0 \dfrac{0}{0} 00
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∞ ∞ \dfrac{\infty}{\infty} ∞∞
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0 ⋅ ∞ 0\cdot\infty 0⋅∞
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0 0 0^0 00
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1 ∞ 1^{\infty} 1∞
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∞ 0 \infty^0 ∞0
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∞ − ∞ \infty-\infty ∞−∞.
等价替换适用的条件
在求极限问题中，不是所有的情况都是可以直接用等价替换的。
从等价无穷小的定义中 lim β α = 1 \lim\dfrac{\beta}{\alpha}=1 limαβ=1 可以看出， α \alpha α 与 β \beta β 的极限比值为1，所以在乘除关系中，可以使用等价无穷小进行替换。
等价替换适用于乘除关系中，部分加减关系中可以用等价无穷小替换。大致如下：
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若 α ∼ α 1 \alpha\sim\alpha_1 α∼α1， β ∼ β 1 \beta\sim\beta_1 β∼β1，则 lim α β = lim α 1 β = lim α β 1 = lim α 1 β 1 . \lim\dfrac{\alpha}{\beta}=\lim\dfrac{\alpha_1}{\beta}=\lim\dfrac{\alpha}{\beta_1}=\lim\dfrac{\alpha_1}{\beta_1}. limβα=limβα1=limβ1α=limβ1α1.
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若 α ∼ α 1 \alpha\sim\alpha_1 α∼α1， β ∼ β 1 \beta\sim\beta_1 β∼β1，且 lim α 1 β 1 = A ≠ 1 \lim\dfrac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq1 limβ1α1=A=1，则 α − β ∼ α 1 − β 1 \alpha-\beta\sim\alpha_1-\beta_1 α−β∼α1−β1.
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若 α ∼ α 1 \alpha\sim\alpha_1 α∼α1， β ∼ β 1 \beta\sim\beta_1 β∼β1，且 lim α 1 β 1 = A ≠ − 1 \lim\dfrac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq-1 limβ1α1=A=−1，则 α + β ∼ α 1 + β 1 \alpha+\beta\sim\alpha_1+\beta_1 α+β∼α1+β1.
简单地讲就是，若极限的分子分母中有加减关系，且等价替换后加减关系的结果为0，这时候一般不能用等价替换。