类鸟群：仿真鸟群
仔细观察一群鸟或一群鱼，你会发现，虽然群体由个体生物组成，但该群体作为一个整体似乎有它自己的生命。鸟群中的鸟在移动、飞越和绕过障碍物时，彼此之间相互定位。受到打扰或惊吓时会破坏编队，但随后重新集结，仿佛被某种更大的力量控制。
1986年，Craig Reynolds创造鸟类群体行为的一种逼真模拟，称为"类鸟群（Boids）"模型。关于类鸟群模型，值得注意的是，只有 3 个简单的规则控制着群体中个体间的相互作用，但该模型产生的行为类似于真正的鸟群。类鸟群模型被广泛研究，甚至被用来制作群体的计算机动画，如电影"蝙蝠侠归来（1992）"中的行军企鹅。
本项目将利用 Reynolds 的 3 个规则，创建一个类鸟群，模拟 N 只鸟的群体行为，并画出随着时间的推移，它们的位置和运动方向。我们还会提供一个方法，向鸟群中添加一只鸟，以及一种驱散效果，可以用于研究群体的局部干扰效果。类鸟群被称为"N 体模拟"，因为它模拟了 N 个粒子的动态系统，彼此之间施加作用力。
工作原理
模拟类鸟群的三大核心规则如下：
分离：保持类鸟个体之间的最小距离；
列队：让每个类鸟个体指向其局部同伴的平均移动方向；
内聚：让每个类鸟个体朝其局部同伴的质量中心移动。
类鸟群模拟也可以添加其他规则，如避开障碍物，或受到打扰时驱散鸟群，在随后的小节中我们将会探讨这些。这个版本的类鸟群在模拟的每一步中，实现了这些核心规则。
对于群体中的所有类鸟个体，做以下几件事：
- 应用三大核心规则；
- 应用所有附加规则；
- 应用所有边界条件。
- 更新类鸟个体的位置和速度。
- 绘制新的位置和速度。
如你所见，这些简单的规则创造了一个鸟群，它具有演变的复杂行为。
所需模块
下面是该模拟要用到的 Python 工具：
- numpy 数组，用于保存类鸟群的位置和速度；
- matplotlib 库，用于生成类鸟群动画；
- argparse，用于处理命令行选项；
- scipy.spatial.distance 模块，包含一些非常简洁的方法，计算点之间的距离。
代码
首先，要计算类鸟群的位置和速度。接下来，要为模拟设置边界条件，看看如何绘制类鸟群，并实现前面讨论的类鸟群模拟规则。最后，我们会为模拟添加一些有趣的事件，即添加一些类鸟个体和驱散类鸟群。
计算类鸟群的位置和速度
类鸟群仿真需要从 numpy 数组取得信息，计算每一步中类鸟群个体的位置和速度。模拟开始时，将所有类鸟群个体大致放在屏幕中央，速度设置为随机的方向。
python
import math
import numpy as np
width, height = 640, 480
pos = [width/2.0, height/2.0] + 10*np.random.rand(2*N).reshape(N, 2)
angles = 2*math.pi*np.random.rand(N)
vel = np.array(list(zip(np.sin(angles), np.cos(angles))))开始在第一行导入 math 模块，用于接下来的计算。在第二行，将 numpy 库导入为 np（少一些录入）。然后，设置屏幕上模拟窗口的宽度和高度。在第四行，创建一个 numpy 数组 pos，对窗口中心加上 10 个单位以内的随机偏移。代码np.random.rand（2 * N）创建了一个一维数组，包含范围在[0，1]的 2N 个随机数。然后 reshape()调用将它转换成二维数组的形状（N，2），它将用于保存类鸟群个体的位置。也要注意，numpy 的广播规则在这里生效：1×2 的数组加到 N×2 的数组的每个元素上。
接下来，用以下方法，创建随机单位速度矢量数组（这些都是模为 1.0 的矢量，指向随机的方向）：给定一个角度 t，数字对(cos(t), sin(t))位于半径为 1.0 的圆上，中心在原点(0, 0)。如果从原点到圆上的一点画一条线，就得到一个单位矢量，它取决于角度 A。如果随机选择角度 A，就得到一个随机速度矢量。下图展示了这个方案。
在第五行，生成一个数组，包含 N 个随机角度，范围在[0, 2pi]，在第六行，用前面讨论的随机向量方法生成一个数组，并用内置的 zip()方法将坐标分组。
设置边界条件
鸟儿飞翔在无际的天空，但类鸟群必须在有限的空间中运动。要创建这个空间，就要创建边界条件，在这个例子中，我们采用"平铺小块边界条件"。
将类鸟群模拟想象成发生在一个平铺的空间：如果类鸟群个体离开一个小块，它将从相反的方向进入到相同的小块。环形边界条件和小块边界条件之间的主要区别是，类鸟群模拟不会发生在离散的网格上，而是在一个连续区域移动。下图展示了这些小块边界条件的样子。请看下图中间的小块。飞出右侧的鸟儿正进入右边的小块，但该边界条件确保它们实际上通过平铺在左边的小块，又回到了中心的小块。在顶部和底部的小块，可以看到同样的事情发生。
下面是如何为类鸟群模拟实现平铺小块边界条件：
python
def applyBC(self):
"""apply boundary conditions"""
deltaR = 2.0
for coord in self.pos:
if coord[0] > width + deltaR:
coord[0] = - deltaR
if coord[0] < - deltaR:
coord[0] = width + deltaR
if coord[1] > height + deltaR:
coord[1] = - deltaR
if coord[1] < - deltaR:
coord[1] = height + deltaR在第五行，如果 x 坐标比小块的宽度大，则将它设置回小块的左侧边缘。该行中的 deltaR 提供了一个微小的缓冲区，它允许类鸟群个体开始从相反方向回来之前，稍稍移出小块之外一点，从而产生更好的视觉效果。在小块的左侧、顶部和底部边缘执行类似的检查。
绘制类鸟群
要生成动画，需要知道类鸟群个体的位置和速度，并有办法在每个时间步骤中表示位置和运动方向。
绘制类鸟群个体的身体和头部
为了生成类鸟群动画，我们用 matplotlib 和一点小技巧来绘制位置和速度。将每个类鸟群个体画成两个圆，如下图所示。较大的圆代表身体，较小的圆表示头部。点 P 是身体的中心，H 是头部的中心。根据公式 H = P + k × V 来计算 H 的位置，其中 V 是类鸟群个体的速度，k 是常数。在任何给定时间，类鸟群个体的头指向运动的方向。这指明了类鸟群个体的移动方向，比只画身体更好。
在下面的代码片段中，利用 matplotlib，用圆形标记画出类鸟群个体的身体。
python
fig = plt.figure()
ax = plt.axes(xlim=(0, width), ylim=(0, height))
pts, = ax.plot([], [], markersize=10, c='k', marker='o', ls='None')
beak, = ax.plot([], [], markersize=4, c='r', marker='o', ls='None')
anim = animation.FuncAnimation(fig, tick, fargs=(pts, beak, boids),interval=50)在第三和第四行分别为类鸟群个体的身体（pts）和头部（beak）标记设置大小和形状。在第五行为动画窗口添加鼠标按钮事件。既然知道了如何绘制身体和喙，让我们看看如何更新它们的位置。
更新类鸟群个体的位置
动画开始后，需要更新身体和头的位置，它指明了类鸟群个体移动的方向。用以下代码来实现：
python
vec = self.pos + 10*self.vel/self.maxVel
beak.set_sdata(vec.rehape(2*self.N)[::2], vec.reshape(2*self.N)[1::2])在第一行，计算头部的位置，即在速度（vel）的方向上增加 10 个单位的位移。该位移确定了喙和身体之间的距离。在第二行，用头部位置的新值来更新（reshape）matplotlib 的轴（set_data）。[::2]从速度列表中选出偶数元素（x 轴的值），[1::2]选出奇数元素（Y 轴的值）。
应用类鸟群规则
现在，要在 Python 中实现类鸟群的 3 个规则。我们用"numpy 的方式"来完成这件事，避免循环并利用高度优化的 numpy 方法。
python
import numpy as np
from scipy.spatial.distance import squareform, pdist, cdist
def test2(pos, radius):
# get distance matrix
distMatrix = squareform(pdist(pos))
# apply threshold
D = distMatrix < radius
# compute velocity
vel = pos*D.sum(axis=1).reshape(N, 1) - D.dot(pos)
return vel在第五行，用 squareform()和 pdist()方法（在 scipy 库中定义），来计算一组点之间两两的距离（从数组中任意取两点，计算距离，然后针对所有可能的两点对这么做）。
squareform()方法给出一个 3×3 矩阵，其中项 Mij 给出了点 Pi和 Pj 之间的距离。接下来，在第七行，基于距离筛选这个矩阵。
在第九行的方法有点复杂。D.sum()方法按列对矩阵中的 True 值求和。reshape 是必需的，因为和是 N 个值的一维数组（形如(N，)），而你希望它形如（N，1），这样它就能够与位置数组相乘。D.dot()就是矩阵和位置矢量的点积（乘法）。
下面的方法利用前面讨论的 numpy 技术，应用类鸟群的 3 个规则：
python
def applyRules(self):
# apply rule #1: Separation
D = distMatrix < 25.0
vel = self.pos*D.sum(axis=1).reshape(self.N, 1) - D.dot(self.pos)#应用分离规则时，每个个体都被"推离"相邻个体一定距离
#计算出的速度被限制在某个最大值以内
self.limit(vel, self.maxRuleVel)
# distance threshold for alignment (different from separation)
D = distMatrix < 50.0
# apply rule #2: Alignment
vel2 = D.dot(self.vel)#应用列队规则时，50 个单位的半径内，所有相邻个体的速度之和限制为一个最大值
self.limit(vel2, self.maxRuleVel)
vel += vel2;
# apply rule #3: Cohesion
vel3 = D.dot(self.pos) - self.pos#为每个个体增加一个速度矢量，它指向一定半径内相邻个体的重心或几何中心
self.limit(vel3, self.maxRuleVel)
vel += vel3
return vel添加个体
类鸟群模拟的核心规则会导致类鸟群展示出群聚行为。但是，让我们在模拟过程中添加一个个体，看看表现如何，让事情变得更有趣。
下面的代码创建一个鼠标事件，让你点击鼠标左键添加一个个体。个体将出现在光标的位置，具有随机指定的速度
python
# 用 mpl_connect()方法向 matplotlib 画布添加一个按钮按下事件
cid = fig.canvas.mpl_connect('button_press_event', buttonPress)现在，为了处理鼠标事件，实际创建类鸟群个体，添加以下代码：
python
def buttonPress(self, event):
"""event handler for matplotlib button presses"""
#确保鼠标事件是左键点击
if event.button is 1:
#将(event.xdata，event.ydata)给出的鼠标位置添加到类鸟群的位置数组
self.pos = np.concatenate((self.pos, np.array([[event.xdata, event.ydata]])), axis=0)
# 将一个随机速度矢量添加到类鸟群的速度数组，并将类鸟群的计数增加 1
angles = 2*math.pi*np.random.rand(1)
v = np.array(list(zip(np.sin(angles), np.cos(angles))))
self.vel = np.concatenate((self.vel, v), axis=0)
self.N += 1驱散类鸟群
3 个模拟规则保持类鸟群在移动时成为一个群体。但是，群体受到惊扰时，会发生什么？为了模拟这种情况，可以引入一种"驱散"效果：如果在用户界面（UI）窗口中单击右键，群体就会分散。你可以认为这是群体面对突然出现的捕食者的反应，或突然出现一声巨响惊吓了鸟群。下面是实现该效果的一种方式，它作为buttonPress()方法的延续：
python
# 检查鼠标按键是否是右键单击事件
elif event.button is 3:
# 改变每个个体的速度，在干扰出现的点（即点击鼠标的位置）的相反的方向上增加一个分量
self.vel += 0.1*(self.pos - np.array([[event.xdata, event.ydata]]))最初，类鸟群将飞离该点，但你会看到，3 个规则胜出，类鸟群将作为群体再次会聚。
命令行参数
下面是类鸟群程序如何处理命令行参数：
python
parser = argparse.ArgumentParser(description="Implementing CraigReynolds's Boids...")
# add arguments
parser.add_argument('--num-boids', dest='N', required=False)
args = parser.parse_args()
# set the initial number of boids
N = 100
if args.N:
N = int(args.N)
# create boids
boids = Boids(N)Boids 类
接下来看看 Boids 类，它代表了模拟。
python
class Boids:
"""class that represents Boids simulation"""
def __init__(self, N):
"""initialize the Boid simulation"""
# 初始化位置和速度数组
self.pos = [width/2.0, height/2.0] + 10*np.random.rand(2*N).reshape(N, 2)
# normalized random velocities
angles = 2*math.pi*np.random.rand(N)
self.vel = np.array(list(zip(np.sin(angles), np.cos(angles))))
self.N = N
# minimum distance of approach
self.minDist = 25.0
# maximum magnitude of velocities calculated by "rules"
self.maxRuleVel = 0.03
# maximum magnitude of the final velocity
self.maxVel = 2.0Boid 类处理初始化，更新动画，并应用规则。
boids.tick()在每个时间步骤被调用，以便更新动画，如下所示：
python
def tick(frameNum, pts, beak, boids):
#print frameNum
"""update function for animation"""
boids.tick(frameNum, pts, beak)
return pts, beak我们还需要一种方法来限制某些矢量的值。否则，速度将在每个时间步骤无限制地增加，模拟将崩溃。
python
def limitVec(self, vec, maxVal):
"""limit the magnitude of the 2D vector"""
mag = norm(vec)
if mag > maxVal:
vec[0], vec[1] = vec[0]*maxVal/mag, vec[1]*maxVal/mag
#限制了数组中的值，采用模拟规则计算出的值
def limit(self, X, maxVal):
"""limit the magnitude of 2D vectors in array X to maxValue"""
for vec in X:
self.limitVec(vec, maxVal)完整代码
下面是类鸟群模拟的完整程序:
python
import sys, argparse
import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation
from scipy.spatial.distance import squareform, pdist, cdist
from numpy.linalg import norm
width, height = 640, 480
class Boids:
"""class that represents Boids simulation"""
def __init__(self, N):
"""initialize the Boid simulation"""
# 初始化位置和速度数组
self.pos = [width/2.0, height/2.0] + 10*np.random.rand(2*N).reshape(N, 2)
# normalized random velocities
angles = 2*math.pi*np.random.rand(N)
self.vel = np.array(list(zip(np.sin(angles), np.cos(angles))))
self.N = N
# minimum distance of approach
self.minDist = 25.0
# maximum magnitude of velocities calculated by "rules"
self.maxRuleVel = 0.03
# maximum magnitude of the final velocity
self.maxVel = 2.0
def tick(self, frameNum, pts, beak):
#print frameNum
"""update function for animation"""
self.distMatrix = squareform(pdist(self.pos))
self.vel += self.applyRules()
self.limit(self.vel, self.maxVel)
self.pos += self.vel
self.applyBC()
pts.set_data(self.pos.reshape(2*self.N)[::2],
self.pos.reshape(2*self.N)[1::2])
vec = self.pos + 10*self.vel/self.maxVel
beak.set_data(vec.reshape(2*self.N)[::2],
vec.reshape(2*self.N)[1::2])
def limitVec(self, vec, maxVal):
"""limit the magnitude of the 2D vector"""
mag = norm(vec)
if mag > maxVal:
vec[0], vec[1] = vec[0]*maxVal/mag, vec[1]*maxVal/mag
#限制了数组中的值，采用模拟规则计算出的值
def limit(self, X, maxVal):
"""limit the magnitude of 2D vectors in array X to maxValue"""
for vec in X:
self.limitVec(vec, maxVal)
def applyBC(self):
"""apply boundary conditions"""
deltaR = 2.0
for coord in self.pos:
if coord[0] > width + deltaR:
coord[0] = - deltaR
if coord[0] < - deltaR:
coord[0] = width + deltaR
if coord[1] > height + deltaR:
coord[1] = - deltaR
if coord[1] < - deltaR:
coord[1] = height + deltaR
def applyRules(self):
# apply rule #1: Separation
D = self.distMatrix < 25.0
vel = self.pos*D.sum(axis=1).reshape(self.N, 1) - D.dot(self.pos)
self.limit(vel, self.maxRuleVel)
# distance threshold for alignment (different from separation)
D = self.distMatrix < 50.0
# apply rule #2: Alignment
vel2 = D.dot(self.vel)
self.limit(vel2, self.maxRuleVel)
vel += vel2;
# apply rule #3: Cohesion
vel3 = D.dot(self.pos) - self.pos
self.limit(vel3, self.maxRuleVel)
vel += vel3
return vel
def buttonPress(self, event):
"""event handler for matplotlib button presses"""
# left-click to add a boid
if event.button is 1:
self.pos = np.concatenate((self.pos, np.array([[event.xdata, event.ydata]])), axis=0)
# generate a random velocity
angles = 2*math.pi*np.random.rand(1)
v = np.array(list(zip(np.sin(angles), np.cos(angles))))
self.vel = np.concatenate((self.vel, v), axis=0)
self.N += 1
# right-click to scatter boids
elif event.button is 3:
# add scattering velocity
self.vel += 0.1*(self.pos - np.array([[event.xdata, event.ydata]]))
def tick(frameNum, pts, beak, boids):
boids.tick(frameNum, pts, beak)
return pts, beak
def main():
print('starting boids...')
parser = argparse.ArgumentParser(description="Implementing CraigReynolds's Boids...")
# add arguments
parser.add_argument('--num-boids', dest='N', required=False)
args = parser.parse_args()
# set the initial number of boids
N = 100
if args.N:
N = int(args.N)
# create boids
boids = Boids(N)
fig = plt.figure()
ax = plt.axes(xlim=(0, width), ylim=(0, height))
pts, = ax.plot([], [], markersize=10, c='k', marker='o', ls='None')
beak, = ax.plot([], [], markersize=4, c='r', marker='o', ls='None')
anim = animation.FuncAnimation(fig, tick, fargs=(pts, beak, boids),interval=50)
# 用 mpl_connect()方法向 matplotlib 画布添加一个按钮按下事件
cid = fig.canvas.mpl_connect('button_press_event', boids.buttonPress)
plt.show()
if __name__ == '__main__':
main()