函数的Gâteaux变分
- 设 X X X是一个带有范数 ∥ ⋅ ∥ \|\cdot\| ∥⋅∥的线性空间。我们称一个在 X X X上的实值泛函 J J J，是一个映射 X X X到 R \mathbb{R} R的函数。我们写作
J : X → R J: X \to \mathbb{R} J:X→R
定义域 D D D是 J J J有定义的， X X X中的点的集合。
- 例子：设 J : C [ 0 , 1 ] → R J: C[0, 1] \to \mathbb{R} J:C[0,1]→R为
J ( x ) = ∫ 0 1 x ( t ) e − t d t J(x) = \int_0^1 x(t) e^{-t} dt J(x)=∫01x(t)e−tdt
- 例子：设 J : C 1 [ a , b ] → R J: C^1[a, b] \to \mathbb{R} J:C1[a,b]→R为
J ( x ) = ∫ a b x ˙ ( t ) 2 d t J(x) = \int_a^b \dot{x}(t)^2 dt J(x)=∫abx˙(t)2dt
- 例子：在定义域
D = { y ∈ C 1 [ 0 , 1 ] ∣ y ( 0 ) = 0 , y ( 1 ) = 1 } D = \{ y \in C^1[0, 1] \mid y(0) = 0, y(1) = 1 \} D={y∈C1[0,1]∣y(0)=0,y(1)=1}
上定义泛函 J J J为
J ( y ) = ∫ 0 1 1 + y ′ ( x ) 2 d x J(y) = \int_0^1 \sqrt{1 + y'(x)^2} dx J(y)=∫011+y′(x)2 dx
J ( y ) J(y) J(y)是从 (0, 0) 到 (1, 1) 的光滑曲线 y = y ( x ) y = y(x) y=y(x)的长度。
- 在变分法中，大部分泛函的形式为
J ( y ) = ∫ a b L ( x , y ( x ) , y ′ ( x ) ) d x J(y) = \int_a^b L(x, y(x), y'(x)) dx J(y)=∫abL(x,y(x),y′(x))dx
其中 L L L被称为拉格朗日函数。
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设 J : D ⊂ X → R J: D \subset X \to \mathbb{R} J:D⊂X→R为泛函。点 x ∗ ∈ D x^* \in D x∗∈D是 J J J的局部极小值点，如果存在 r > 0 r > 0 r>0，使得对所有 x ∈ D ∩ B ( x ∗ , r ) x \in D \cap B(x^*, r) x∈D∩B(x∗,r)有 J ( x ∗ ) ≤ J ( x ) J(x^*) \leq J(x) J(x∗)≤J(x)。
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重要！！！
设 f f f是一个光滑函数，将 R n \mathbb{R}^n Rn映射到 R \mathbb{R} R。在方向 h h h上的导数为
D h f ( x ) = lim ϵ → 0 f ( x + ϵ h ) − f ( x ) ϵ = d d ϵ f ( x + ϵ h ) ∣ ϵ = 0 D_h f(x) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{f(x + \epsilon h) - f(x)}{\epsilon} = \left. \frac{d}{d\epsilon} f(x + \epsilon h) \right|_{\epsilon = 0} Dhf(x)=ϵ→0limϵf(x+ϵh)−f(x)=dϵdf(x+ϵh) ϵ=0
对于泛函 J J J，在点 x ∈ D x \in D x∈D方向 h h h上的 Gâteaux 变分（或一阶变分）定义为
δ J ( x , h ) = d d ϵ J ( x + ϵ h ) ∣ ϵ = 0 \delta J(x, h) = \left. \frac{d}{d\epsilon} J(x + \epsilon h) \right|_{\epsilon = 0} δJ(x,h)=dϵdJ(x+ϵh) ϵ=0
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计算 Gâteaux 变分时，需要选择那些使得 x + ϵ h x + \epsilon h x+ϵh在 D D D中的 h h h。这样的向量称为可行变分。对于泛函 J J J，我们用 A A A表示其可行变分的类。
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在一个光滑函数 f f f的临界点 x x x处，各个方向的导数为零：
D h f ( x ) = 0 , ∀ h ∈ R n D_h f(x) = 0, \forall h \in \mathbb{R}^n Dhf(x)=0,∀h∈Rn
对于泛函 J J J，在极值点 x ∈ D x \in D x∈D处，
δ J ( x , h ) = 0 , ∀ h ∈ A \delta J(x, h) = 0, \forall h \in A δJ(x,h)=0,∀h∈A
泛函 J J J在极值点 x x x处是平稳的(stationary)。
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在微积分中，你会在函数的临界点中寻找局部极小值。在变分法中，你会在泛函的极值点中寻找局部极小值。通过求解 δ J ( x , h ) = 0 \delta J(x, h) = 0 δJ(x,h)=0来找到这些极值点。
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变分法与微积分中的概念、术语和符号对应关系总结如下：
- 一个泛函 J : D ⊂ X → R J: D \subset X \to \mathbb{R} J:D⊂X→R⇔ 一个函数 f : R n → R f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} f:Rn→R
- 一个可行变分 h ∈ A h \in A h∈A⇔ 一个方向向量 h ∈ R n h \in \mathbb{R}^n h∈Rn
- Gâteaux 变分 δ J ( x , h ) \delta J(x, h) δJ(x,h)⇔ 方向导数 D h f ( x ) D_h f(x) Dhf(x)
- 一个泛函 J J J的极值点 x ∈ D x \in D x∈D⇔ 一个函数 f f f的临界点 x ∈ R n x \in \mathbb{R}^n x∈Rn