Python面试宝典第12题:消失的数字

题目

数组nums包含从0到n的所有整数,但其中缺了一个数。请编写代码,找出那个缺失的整数,并在O(n)时间内完成。

示例 1:

python 复制代码
输入:[3, 0, 1]
输出:2

示例 2:

python 复制代码
输入:[9, 6, 4, 2, 3, 5, 7, 0, 1]
输出:8

异或法

本题可以利用异或运算的性质,即:任何数与0异或都等于本身,任何数与自身异或等于0,以及异或运算的交换律和结合律。使用异或法求解本题的主要步骤如下。

1、异或所有数组元素。

2、继续异或所有从0到n的整数。

3、最终结果即为缺失的数字,因为其它数字都被异或消除了。

注意:因为for循环中只遍历了0到n-1这n个数,并没有遍历n,故我们将missing的初始值设置成了n。

根据上面的算法步骤,我们可以得出下面的示例代码。

python 复制代码
def missing_number_by_xor(nums):
    n = len(nums)
    missing = n
    for i in range(n):
        missing ^= i ^ nums[i]
    return missing

print(missing_number_by_xor([3, 0, 1]))
print(missing_number_by_xor([9, 6, 4, 2, 3, 5, 7, 0, 1]))

高斯求和法

本题可以利用数学中的高斯求和公式,快速计算出从0到n的和,然后减去数组元素之和,从而得到缺失的数字。使用高斯求和法求解本题的主要步骤如下。

1、首先,计算数组元素之和。

2、利用公式(n*(n+1))/2,计算出从0到n的理论和。

3、两者之差,即为缺失的数字。

根据上面的算法步骤,我们可以得出下面的示例代码。

python 复制代码
def missing_number_by_gauss_sum(nums):
    n = len(nums)
    expected_sum = (n * (n + 1)) // 2
    actual_sum = sum(nums)
    return expected_sum - actual_sum

print(missing_number_by_gauss_sum([3, 0, 1]))
print(missing_number_by_gauss_sum([9, 6, 4, 2, 3, 5, 7, 0, 1]))

哈希法

本题还可以使用哈希法求解,其基本思想是:遍历整个数组,将每个元素添加到哈希表中;由于数组应该包含从0到n的所有整数,我们可以再遍历一次从0到n的范围,查找哈希表中未出现的数字,该数字即为缺失的整数。使用哈希法求解本题的主要步骤如下。

1、初始化一个空的字典。

2、遍历输入数组,对于数组中的每个元素,将其作为键添加到字典中,值可以任意。通常不需要存储值,这里只是为了标记存在。

3、遍历从0到n(包括n本身)的整数,检查每个数字是否在哈希表中。如果发现某个数字不在哈希表中,则该数字即为缺失的整数,返回该数字。

根据上面的算法步骤,我们可以得出下面的示例代码。

python 复制代码
def missing_number_by_iteration(nums):
    num_dict = {}
    for num in nums:
        num_dict[num] = True
    
    n = len(nums)
    for i in range(n + 1):
        if i not in num_dict:
            return i

print(missing_number_by_iteration([3, 0, 1]))
print(missing_number_by_iteration([9, 6, 4, 2, 3, 5, 7, 0, 1]))

总结

以上三种方法均满足时间复杂度O(n)的要求,但三种方法适用的场景各有不同。

异或法简单高效,尤其适用于数值范围较大的情况,因为它避免了大数的直接计算。但该方法仅适用于特定场景,特别是当输入数据具备某种对称性时。

高斯求和法比较直观,适用于对异或操作不太熟悉的情况。但在数值非常大时,直接计算总和可能会有溢出的风险。

哈希法实现直观,易于理解和编码,能够处理更广泛的问题。比如:不仅可以找出缺失的数字,还能应对数字重复或其他更复杂的变异问题。但该方法需要额外的空间来存储哈希表,空间复杂度较高。

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