LeetCode.198 打家劫舍
题目链接 打家劫舍
题解
java
class Solution {
public int rob(int[] nums) {
if(nums.length == 1) return nums[0];
int[] dp = new int[nums.length+1];
dp[0] = nums[0];
dp[1] = Math.max(nums[0],nums[1]);
for(int i = 2;i<nums.length;i++){
dp[i] = Math.max(dp[i-2] + nums[i],dp[i-1]);
}
return dp[nums.length-1];
}
}
解题思路
这是一个用动态规划解决 "打家劫舍" 问题的代码。
问题背景是:有沿街的房屋,每间房有一定现金,相邻房屋不能同时偷窃(否则报警),要计算不触发警报时能偷到的最高金额。
代码的思路如下:
首先处理边界情况,如果只有一间房屋,那么能偷到的最高金额就是这间房屋的现金数,直接返回即可。
然后定义一个动态规划数组 dp,其中 dp [i] 表示偷窃前 i+1 间房屋(也就是从下标 0 到 i 的房屋)能得到的最高金额。
接着初始化数组的前两个元素:dp [0] 就是第一间房屋的现金数,因为只有这一间房;dp [1] 则是前两间房屋中现金较多的那间的金额,因为不能同时偷相邻的,所以选大的那个。
之后从第三间房屋(下标 2)开始循环计算:对于第 i 间房屋,有两种选择,要么偷这间,那么就不能偷第 i-1 间,此时能得到的金额是偷前 i-2 间的最高金额加上第 i 间的现金;要么不偷这间,那么能得到的金额就是偷前 i-1 间的最高金额。这两种情况取最大值,就是 dp [i] 的值。
最后,数组的最后一个元素 dp [nums.length-1] 就是偷窃所有房屋能得到的最高金额,将其返回。
这个解法的时间复杂度是 O (n),因为只需要遍历一次房屋数组;空间复杂度是 O (n),因为使用了一个长度为 n 的 dp 数组(不过可以优化到 O (1),只需要用两个变量来存储前两个状态即可)。
LeetCode.213 打家劫舍Ⅱ
题目链接 打家劫舍Ⅱ
题解
java
class Solution {
public int rob(int[] nums) {
int len = nums.length;
if(len == 1) return nums[0];
int[] tmpNums = new int[len];
for(int i = 0;i<len - 1;i++){
tmpNums[i] = nums[i];
}
int value1 = rob1(tmpNums);
for(int i = 1;i<len;i++){
tmpNums[i-1] = nums[i];
}
int value2 = rob1(tmpNums);
return Math.max(value1,value2);
}
public int rob1(int[] nums) {
if(nums.length == 1) return nums[0];
int[] dp = new int[nums.length+1];
dp[0] = nums[0];
dp[1] = Math.max(nums[0],nums[1]);
for(int i = 2;i<nums.length;i++){
dp[i] = Math.max(dp[i-2] + nums[i],dp[i-1]);
}
return dp[nums.length-1];
}
}
解题思路
这是解决「打家劫舍 II」问题的代码,在原问题基础上增加了一个约束:房屋围成一圈(即第一间和最后一间也视为相邻,不能同时偷窃)。
代码的核心思路是将环形问题转化为两个线性问题:
- 不考虑最后一间房,只计算从第一间到倒数第二间的最高金额(value1)
- 不考虑第一间房,只计算从第二间到最后一间的最高金额(value2)
- 最终结果取这两个值中的较大者
具体实现步骤:
- 先处理边界情况:如果只有一间房,直接返回该房屋的金额
- 构造第一个临时数组 tmpNums,包含除最后一间外的所有房屋
- 调用 rob1 方法计算这个临时数组的最高金额(value1)
- 重新构造临时数组 tmpNums,包含除第一间外的所有房屋
- 再次调用 rob1 方法计算这个临时数组的最高金额(value2)
- 返回 value1 和 value2 中的最大值
其中 rob1 方法就是解决「打家劫舍 I」的动态规划函数:
- 用 dp [i] 表示前 i+1 间房屋能偷到的最高金额
- 状态转移方程为:dp [i] = max (dp [i-2] + nums [i], dp [i-1])
- 即对于第 i 间房,要么偷(加上前 i-2 间的最高金额),要么不偷(取前 i-1 间的最高金额)
通过这种拆分方式,成功将环形约束转化为两个线性问题,从而复用了原问题的解法。
LeetCode.337 打家劫舍III
题目链接 打家劫舍III
题解
java
class Solution {
public int rob(TreeNode root) {
int[] res = dfs(root);
return Math.max(res[0],res[1]);
}
public int[] dfs(TreeNode root){
int[] res = new int[2];
if(root == null) return res;
int[] left = dfs(root.left);
int[] right = dfs(root.right);
res[0] = Math.max(left[0],left[1]) + Math.max(right[0],right[1]);
res[1] = root.val + left[0] + right[0];
return res;
}
}
解题思路
这是解决「打家劫舍 III」问题的代码,该问题将房屋排列成二叉树结构,约束条件为:不能偷窃相连的节点(父节点和子节点视为相邻,不能同时偷窃),需要计算能偷到的最高金额。
代码采用了深度优先搜索(DFS)结合动态规划的思路,核心是对每个节点考虑两种状态:
-
定义返回数组 res,其中:
- res [0] 表示不偷当前节点时,以该节点为根的子树能偷到的最高金额
- res [1] 表示偷当前节点时,以该节点为根的子树能偷到的最高金额
-
递归处理逻辑:
- 若当前节点为空,返回两个元素都为 0 的数组
- 递归计算左子树和右子树的结果(left 和 right 数组)
- 不偷当前节点时(res [0]):可以偷或不偷左右子节点,取左右子树两种状态的最大值之和
- 偷当前节点时(res [1]):不能偷左右子节点,金额为当前节点值加上左右子树不偷时的金额之和
-
最终结果:根节点两种状态的最大值,即 max (res [0], res [1])
这种解法通过后序遍历方式,从叶子节点向根节点计算,每个节点只需要处理一次,时间复杂度为 O (n)(n 为节点数量),空间复杂度为 O (h)(h 为树的高度,递归栈空间)。