时间复杂度与空间复杂度

时间复杂度

推导大O阶方法：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

计算Func2的时间复杂度？

O(N)

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void Func2(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 int M = 10;
 while (M--)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

// 计算Func3的时间复杂度？

// O(N+M)

M远大于N，O(N)

M和N差不多大，O(M)或O(N)

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void Func3(int N, int M)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < M; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 for (int k = 0; k < N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }

// 计算Func4的时间复杂度？

// O(1) 是确定的常数次都是O(1)

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void Func4(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 100; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到

最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到
当算法存在这三种情况的时候看最坏

// 计算strchr的时间复杂度？

// O(N)

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const char * strchr ( const char * str, char character )
{
  while(*str != '\0')
 {
      if(*str == character)
          return str;
      ++str;
 }
  
  return NULL;
}

// 计算BubbleSort的时间复杂度？

// 第一趟N 再 N-1 N-2 N-3 是等差数列求和

// O(N^2)

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void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }

// 计算BinarySearch的时间复杂度？

// 2^30等于10亿，那么在中国14亿人中只需查找31次

// 每次对半查找 log2(N) 在算法中简写省去2 有些写成O(lgN)严格来说写的不对

// O(logN)

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int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
 assert(a);
 int begin = 0;
 int end = n;
 while (begin < end)
 {
 int mid = begin + ((end-begin)>>1);
 if (a[mid] < x)
 begin = mid+1;
 else if (a[mid] > x)
 end = mid;
 else
 return mid;
 }
 return -1;
}

// 计算阶乘递归Factorial的时间复杂度？

// 递归N次每次递归运算O(1)

// O(N)

// 如果函数里有for(i=0;i<N;i++) 那么就是O(N^2)

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long long Factorial(size_t N)
{
 return N < 2 ? N : Factorial(N-1)*N;
}

O(N!)最大

O(1)与O(logN)在图上几乎重合

空间复杂度

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。空间复杂度不是程序占用

了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数 。空间复杂度计

算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

// 计算BubbleSort的空间复杂度？

// 具有常数个变量尽管循环变量值改变，但利用的是一个空间

// O(1)

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void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

// 计算Fibonacci的空间复杂度？

// O(N)

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long long* Fibonacci(size_t n)
{
     if(n==0)
          return NULL;
     long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
     fibArray[0] = 0;
     fibArray[1] = 1;
     for (int i = 2; i <= n ; ++i)
     {
           fibArray[i ] = fibArray[ i - 1] + fibArray [i - 2];
     }
     return fibArray ;
}

// 计算阶乘递归Factorial的空间复杂度？

// 递归调用了N层，每次调用建立一个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间O(1)

// O(N)

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long long Factorial(size_t N)
{
 return N < 2 ? N : Factorial(N-1)*N;
}