[C/C++入门][进制原理]27、计算机种的进制

各种信息进入计算机，都要转换成"0"和"1"的二进制形式。

计算机 采用二进制的原因是：

1. 物理上容易实现，可靠性高。（电子元件的通电和不通电就可以表示1和0，所以非常方便）
2. 运算简单，通用性强。
3. 便于表示和进行逻辑运算。

进位计数制的特点：

采用进位的方式进行计数；
使用位置表示法
例如：

表 2-1 计算机中常用的数字系统 进制
二进制
十进制
八进制

|------|------|--------------|--------------|--------------------------|
| 进制 | 二进制 | 十进制 | 八进制 | 十六进制 |
| 进位规则 | 逢二进一 | 逢十进一 | 逢八进一 | 逢十六进一 |
| 基数 | 2 | 10 | 8 | 16 |
| 基本符号 | 0,1 | 0,1,2, ...,9 | 0,1,2, ...,7 | 0,1,2, ...,9,A,B,C,D,E,F |

十进制转换成二进制123.45转1111011.011100

计算机种如何表示呢？

在C++中，你可以使用

进制表示

1. 二进制 (0b 或 0B 前缀)： 从C++11开始，你可以使用前缀0b或0B来表示二进制数。

   int num = 0b1011; // 等同于十进制中的11

2. 八进制 (0 前缀)： 八进制数可以通过在数字前添加0来表示。

   int num = 011; // 等同于十进制中的9

3.十进制： 没有特殊前缀，默认就是十进制。

int num = 11; // 直接写数字

4.十六进制 (0x 或 0X 前缀)： 十六进制数通过前缀0x或0X来表示。

int num = 0xB; // 等同于十进制中的11

输出进制转换

你可以使用std::cout结合std::dec, std::hex, std::oct和std::bitset来输出不同进制的数字。

1. 十进制 (std::dec)：

   std::cout << std::dec << num; // 输出十进制形式

2. 十六进制 (std::hex)：

   std::cout << std::hex << num; // 输出十六进制形式

3. 八进制 (std::oct)：

   std::cout << std::oct << num; // 输出八进制形式

4. 二进制 (std::bitset)： std::bitset可以用来输出二进制字符串。

   std::bitset<32> bits(num);
   std::cout << bits << '\n'; // 输出二进制形式

输入进制转换

使用std::cin读取数字时，你可以指定进制，例如：

int num;
std::cin >> std::hex >> num; // 假设用户输入十六进制数字

各个进制：

#include <iostream>
#include <bitset>

int main() {
    int num = 27;

    std::cout << "Decimal: " << num << '\n';
    std::cout << "Binary:   " << std::bitset<32>(num) << '\n';
    std::cout << "Octal:    " << std::oct << num << '\n';
    std::cout << "Hexadecimal: " << std::hex << num << '\n';

    return 0;
}

其它的转化公式和原理

1. 从十进制转换为其他进制

转换公式：

假设我们要将一个十进制数d转换为r进制：

• 将d除以r，得到商q和余数ri。
• 将商q再次除以r，直到商为0，每次都记录下余数。
• 最终的r进制数是由余数从最后一个（即最先产生的余数）到第一个（即最后产生的余数）逆序排列组成的。

示例：

将十进制数13转换为二进制：

1. 13/2=6 余数1
2. 6/2=3 余数0
3. 3/2=1 余数1
4. 1/2=0 余数1

最终的二进制数是1101。

从其他进制转换为十进制

转换公式：

示例：

将二进制数1101转换为十进制：

3. 从非十进制直接转换为非十进制

转换公式：

先将非十进制数转换为十进制，然后再将十进制数转换为所需的非十进制。

示例：

将八进制数52转换为十六进制：

总结：

1. 任意进制到十进制：使用上述的公式，将每个位的值乘以基数的幂次，然后求和。
2. 十进制到任意进制：使用除法取余数的方法，将商重复进行除法直到为0，然后倒序排列余数。

这些原理和公式适用于任何进制的转换，只要知道基数和位数权重，就可以进行有效的转换