重生之“我打数据结构，真的假的？”--4.二叉树（无习题）

1.二叉树

1.1概念与结构

在树形结构中，我们最常⽤的就是⼆叉树，⼀棵⼆叉树是结点的⼀个有限集合，该集合由⼀个根结点加上两棵别称为左⼦树和右⼦树的⼆叉树组成或者为空。

⼆叉树不存在度⼤于 2 的结点

⼆叉树的⼦树有左右之分，次序不能颠倒，因此⼆叉树是有序树

1.2满二叉树

⼀个⼆叉树，如果每⼀个层的结点数都达到最⼤值，则这个⼆叉树就是满⼆叉树。也就是说，如果⼀个⼆叉树的层数为 K ，且结点总数是 （2的k次方-1） ，则它就是满⼆叉树。

1.3二叉树的性质

⼆叉树性质根据满⼆叉树的特点可知：

1）若规定根结点的层数为 1 ，则⼀棵⾮空⼆叉树的第i层上最多有 **（2 的i-1次方）**个结点

2）若规定根结点的层数为 1 ，则深度为 h 的⼆叉树的最⼤结点数是 （2的h次方-1）

3）若规定根结点的层数为 1 ，具有 n 个结点的满⼆叉树 的深度 h = log2 (n + 1) ( log 以2为底， n+1 为对数)

1.4完全二叉树

1、叶子结点只可能在最大的两层 上出现,对任意结点，若其右分支下的子孙最大层次为L，则其左分支下的子孙的最大层次必为L 或 L+1;

2、出于简便起见,完全二叉树通常采用数组而不是链表存储。

3、满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树。

4、完全二叉树第i层至多有2的(i-1)次方 个节点，共i层的完全二叉树最多有2的i次方-1 个节点。

5、只允许最后一层有空缺结点且空缺在右边 ，即叶子结点只能在层次最大的两层上出现；

6、对任一结点，如果其右子树的深度为j，则其左子树的深度必为j或j+1。即度为1的点只有1个或0个。

2.二叉树的存储结构

2.1顺序结构

顺序结构存储就是使⽤数组来存储，⼀般使⽤数组只适合表⽰完全⼆叉树，因为不是完全⼆叉树会有空间的浪费，完全⼆叉树更适合使⽤顺序结构存储。

2.2链式结构

⼆叉树的链式存储结构是指，⽤链表来表⽰⼀棵⼆叉树，即⽤链来指⽰元素的逻辑关系。通常的⽅法是链表中每个结点由三个域 组成，数据域和左右指针域，左右指针分别⽤来给出该结点左孩⼦和右孩⼦所在的链结点的存储地址。

2.3实现链式结构⼆叉树

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typedef int BTDataType;
// ⼆叉链
typedef struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* left; // 指向当前结点左孩⼦
struct BinTreeNode* right; // 指向当前结点右孩⼦
BTDataType val; // 当前结点值域
}BTNode;

BTNode* BuyBTNode(int val)
{
BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
if (newnode == NULL)
{
perror("malloc fail");
return NULL;
}
newnode->val = val;
newnode->left = NULL;
newnode->right = NULL;
return newnode;
}                      //初始化

3.功能实现

3.1 销毁二叉树

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void BinaryTreeDestory(BTnode** root)//要传二级指针，因为要改变根节点为NULL；而根节点是指针，改变指针需要传二级指针
{
      if(*root==NULL)
      return;
      BinaryTreeDestory(&((*root)->left));
      BinaryTreeDestory(&((*root)->right));

      free(*root);
      *root=NULL;

}

3.2 层序遍历（！！！！！）

单纯递归是无法解决层序遍历问题的，实现层序遍历需要额外借助数据结构：队列（！！！！！）

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// 层序遍历
void LevelOrder(BTNode* root)
{
  Queue q;
  QueueInit(&q);
  QueuePush(&q, root);
  while (!QueueEmpty(&q))
 {
  BTNode* top = QueueFront(&q);
  printf("%c ", top->data);
  QueuePop(&q);
   if (top->_left)
   {
     QueuePush(&q, top->_left);
   }
   if (top->_right)
   {
     QueuePush(&q, top->_right);
   }
 }
QueueDesTroy(&q);
}

3.3判断是否为完全⼆叉树

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// 判断⼆叉树是否是完全⼆叉树
bool BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{
   Queue q;
   QueueInit(&q);
   QueuePush(&q, root);
   while (!QueueEmpty(&q))
  {
   BTNode* top = QueueFront(&q);
   QueuePop(&q);
   if (top == NULL)
     {
      break;
     }
   QueuePush(&q, top->_left);
   QueuePush(&q, top->_right);
  }
   while (!QueueEmpty(&q))      //如果为完全二叉树，只允许最后一层有空缺节点，且在右边，所以最后队列的元素一定只有NULL（可能有好几个NULL）
  {
    BTNode* top = QueueFront(&q);
    QueuePop(&q);
    if (top != NULL)           //不是NULL，一定不是完全二叉树
     {
      QueueDesTroy(&q);
      return false;
     }
  }
   QueueDesTroy(&q);
   return true;
}