重生之“我打数据结构,真的假的?”--4.二叉树(无习题)

1.二叉树

1.1概念与结构

在树形结构中,我们最常⽤的就是⼆叉树,⼀棵⼆叉树是结点的⼀个有限集合,该集合由⼀个根结点 加上两棵别称为左⼦树和右⼦树的⼆叉树组成或者为空。

  1. ⼆叉树不存在度⼤于 2 的结点

  2. ⼆叉树的⼦树有左右之分,次序不能颠倒,因此⼆叉树是有序树

1.2满二叉树

⼀个⼆叉树,如果每⼀个层的结点数都达到最⼤值,则这个⼆叉树就是满⼆叉树。也就是说,如果⼀ 个⼆叉树的层数为 K ,且结点总数是 (2的k次方-1) ,则它就是满⼆叉树。

1.3二叉树的性质

⼆叉树性质 根据满⼆叉树的特点可知:

1)若规定根结点的层数为 1 ,则⼀棵⾮空⼆叉树的第i层上最多有 **(2 的i-1次方 )**个结点

2)若规定根结点的层数为 1 ,则深度为 h 的⼆叉树的最⼤结点数是 (2的h次方-1)

3)若规定根结点的层数为 1 ,具有 n 个结点的满⼆叉树深度 h = log2 (n + 1) ( log 以2为底, n+1 为对数)

1.4完全二叉树

1、叶子结点只可能在最大的两层 上出现,对任意结点,若其右分支下的子孙最大层次为L,则其左分支下的子孙的最大层次必为L 或 L+1;

2、出于简便起见,完全二叉树通常采用数组而不是链表存储。

3、满二叉树一定是完全二叉树,完全二叉树不一定是满二叉树。

4、完全二叉树第i层至多有2的(i-1)次方 个节点,共i层的完全二叉树最多有2的i次方-1 个节点。

5、只允许最后一层有空缺结点且空缺在右边 ,即叶子结点只能在层次最大的两层上出现;

6、对任一结点,如果其右子树的深度为j,则其左子树的深度必为j或j+1。 即度为1的点只有1个或0个。

2.二叉树的存储结构

2.1顺序结构

顺序结构存储就是使⽤数组来存储,⼀般使⽤数组只适合表⽰完全⼆叉树,因为不是完全⼆叉树会有 空间的浪费,完全⼆叉树更适合使⽤顺序结构存储。

2.2链式结构

⼆叉树的链式存储结构是指,⽤链表来表⽰⼀棵⼆叉树,即⽤链来指⽰元素的逻辑关系。 通常的⽅法 是链表中每个结点由三个域 组成,数据域和左右指针域,左右指针分别⽤来给出该结点左孩⼦和右孩 ⼦所在的链结点的存储地址 。

2.3实现链式结构⼆叉树

typedef int BTDataType;
// ⼆叉链
typedef struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* left; // 指向当前结点左孩⼦
struct BinTreeNode* right; // 指向当前结点右孩⼦
BTDataType val; // 当前结点值域
}BTNode;

BTNode* BuyBTNode(int val)
{
BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
if (newnode == NULL)
{
perror("malloc fail");
return NULL;
}
newnode->val = val;
newnode->left = NULL;
newnode->right = NULL;
return newnode;
}                      //初始化

3.功能实现

3.1 销毁二叉树

void BinaryTreeDestory(BTnode** root)//要传二级指针,因为要改变根节点为NULL;而根节点是指针,改变指针需要传二级指针
{
      if(*root==NULL)
      return;
      BinaryTreeDestory(&((*root)->left));
      BinaryTreeDestory(&((*root)->right));

      free(*root);
      *root=NULL;

}

3.2 层序遍历(!!!!!)

单纯递归是无法解决层序遍历问题的,实现层序遍历需要额外借助数据结构:队列(!!!!!)

// 层序遍历
void LevelOrder(BTNode* root)
{
  Queue q;
  QueueInit(&q);
  QueuePush(&q, root);
  while (!QueueEmpty(&q))
 {
  BTNode* top = QueueFront(&q);
  printf("%c ", top->data);
  QueuePop(&q);
   if (top->_left)
   {
     QueuePush(&q, top->_left);
   }
   if (top->_right)
   {
     QueuePush(&q, top->_right);
   }
 }
QueueDesTroy(&q);
}

3.3判断是否为完全⼆叉树

// 判断⼆叉树是否是完全⼆叉树
bool BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{
   Queue q;
   QueueInit(&q);
   QueuePush(&q, root);
   while (!QueueEmpty(&q))
  {
   BTNode* top = QueueFront(&q);
   QueuePop(&q);
   if (top == NULL)
     {
      break;
     }
   QueuePush(&q, top->_left);
   QueuePush(&q, top->_right);
  }
   while (!QueueEmpty(&q))      //如果为完全二叉树,只允许最后一层有空缺节点,且在右边,所以最后队列的元素一定只有NULL(可能有好几个NULL)
  {
    BTNode* top = QueueFront(&q);
    QueuePop(&q);
    if (top != NULL)           //不是NULL,一定不是完全二叉树
     {
      QueueDesTroy(&q);
      return false;
     }
  }
   QueueDesTroy(&q);
   return true;
}
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