排序算法详解

2的n次方_2024-08-01 17:52

​

💎所属专栏：数据结构与算法学习****

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🍁1. 插入排序

🍁1.1 直接插入排序

插入排序是一种简单直观的排序算法，它的原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。

以从小到大排序为例

1.从第一个元素开始，可以看作是有序的元素

2.取出下一个元素，与前面已经排好序的元素比较，如果前面的元素大于此元素，就把前面的元素往后移，继续往前找，找到小于或等于的位置进行插入，直到找到最前面
​

java 复制代码 
public class InsertSort {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {5, 1, 2, 4, 3};
        insertSort(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }

    public static void insertSort(int[] arr) {
        for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
            int tmp = arr[i];
            int j = i - 1;
            //比tmp大的元素往后移
            for (; j >= 0 && arr[j] > tmp; j--) {
                arr[j + 1] = arr[j];
            }
            arr[j + 1] = tmp;
        }
    }
}

🍁1.2 希尔排序

希尔排序的基本思想是：

先选定一个整数，把待排序的数据分为多个组，对每一个组内进行直接插入排序，待整个序列中的记录"基本有序"时，再对全体记录进行一次直接插入排序。
​

假设有一个数组arr = [9, 8, 3, 7, 5, 6, 4, 1]，我们采用最简单的增量序列（每次减半）来进行希尔排序：

1. 初始增量d = 4，将数组分为4组，每组进行插入排序：[9, 7], [8, 5], [3, 6], [4, 1]

2. 增量d = 2，将数组分为2组，每组进行插入排序：[7, 5, 6, 1], [9, 8, 3, 4]

3. 增量d = 1，整个数组作为一组进行插入排序，得到最终结果：[1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

java 复制代码 
    public static void shellSort(int[] arr) {
        int gap = arr.length;
        //增量每次减半
        while (gap > 1) {
            gap /= 2;
            shell(arr, gap);
        }
    }

    private static void shell(int[] arr, int gap) {
        for (int i = gap; i < arr.length; i++) {
            int tmp = arr[i];
            int j = i - gap;
            //比tmp大的元素往后移
            for (; j >= 0 && arr[j] > tmp; j -= gap) {
                arr[j + gap] = arr[j];
            }
            arr[j + gap] = tmp;
        }
    }

🍁2. 选择排序

🍁2.1 直接选择排序

直接选择排序的思想：

每次从待排序的数据中选择一个最小（最大）的元素放在序列起始位置，直到整个序列元素排序完毕
​

java 复制代码 
    public static void selectSort(int[] arr) {
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            int minIndex = i;
            for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) {
                if (arr[j] < arr[minIndex]) {
                    minIndex = j;
                }
            }
            swap(arr, i, minIndex);
        }
    }

🍁2.2 堆排序

堆排序在上一节中已经有过介绍，这里再简单回顾下，还是以从小到大排序为例，这时我们创建一个大根堆，堆顶元素也就是最大的，把最顶元素和堆尾元素进行交换，接着向下调整，再把堆顶元素和堆尾元素进行交换，也就是排在了上一个最大元素的前面，重复此过程，就实现了从小到大排序。

上一篇回顾

java 复制代码 
    public static void heapSort(int[] arr) {
        createHeap(arr);
        int end = arr.length - 1;
        while (end > 0) {
            //堆顶和end元素互换
            swap(arr, 0, end);
            //向下调整
            siftDown(arr, 0, end);
            end--;
        }
    }

    public static void createHeap(int[] arr) {
        for (int parent = (arr.length - 1 - 1) / 2; parent >= 0; parent--) {
            siftDown(arr, parent, arr.length);
        }
    }

    private static void siftDown(int[] arr, int parent, int length) {
        int child = 2 * parent + 1;
        while (child < length) {
            if (child + 1 < length && arr[child] < arr[child + 1]) {
                child += 1;
            }
            if (arr[child] > arr[parent]) {
                swap(arr, child, parent);
                child = 2 * child + 1;
            } else {
                break;
            }
        }
    }

🍁3. 交换排序

🍁3.1 冒泡排序

冒泡排序是一种简单的排序算法，它重复地遍历要排序的数列，一次比较两个元素，如果它们的顺序错误就把它们交换过来。

比较每一对相邻的元素：如果第一个比第二个大（升序排序），就交换它们两个，这步做完后，最后的元素会是最大的数。

持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤，直到没有任何一对数字需要比较。
​

java 复制代码 
    public static void bubbleSort(int[] arr) {
        for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
            boolean flag = false;
            for (int j = 0; j < arr.length - 1 - i; j++) {
                if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                    swap(arr, j, j + 1);
                    flag = true;
                }
            }
            //如果这一趟没有交换任何一对元素，表示已经排好序了
            if(!flag){
                break;
            }
        }
    }

这里做了一个优化，如果给出的数据只有一对数据不符合顺序，那么交换这对数据之后就不用再重复后续的程序了，所以直接结束循环即可，在一些情况下，通过这种优化，冒泡排序的时间复杂度可以达到O(n)

🍁3.2 快速排序

首先把0索引的位置当作基准数，定义两个指针，先将右指针从数组末尾开始往前找，遇到比基准数小的停下来，左指针从1索引开始往后找，遇到比基准数大的停下来，交换左右指针的数，重复此过程，直到左右指针相遇，此时和基准数交换，就可以把基准数排到正确的位置，此时左边都是比基准数小的，右边都是比基准数大的，再依次递归基准数左边部分和右边部分，就实现了排序

注意：一定要先从右边开始找比基准数小的，先从左边开始就无法达到效果

​

java 复制代码 
    public static void quickSort(int[] arr, int start, int end) {
        if (start >= end) {
            return;
        }
        int mid = part(arr, start, end);
        quickSort(arr, start, mid - 1);
        quickSort(arr, mid + 1, end);
    }

    public static int part(int[] arr, int i, int j) {
        int tmp = arr[i];
        int tmpStart = i;
        while (i < j) {
            while (i < j && arr[j] >= tmp) {
                j--;
            }
            while (i < j && arr[i] <= tmp) {
                i++;
            }
            swap(arr, i, j);
        }
        swap(arr, tmpStart, i);
        return i;
    }

关于基准数归位的过程还有一种优化的方法，由于上面使用了大量的交换，也会浪费一些时间

java 复制代码 
    public static int part1(int[] arr, int i, int j) {
        int tmp = arr[i];
        while (i < j) {
            while (i < j && arr[j] >= tmp) {
                j--;
            }
            arr[i] = arr[j];
            while (i < j && arr[i] <= tmp) {
                i++;
            }
            arr[j] = arr[i];
        }
        arr[i] = tmp;
        return i;
    }

也就是先把基准数拿出来，这时就留出来一个空位，接着从右边找比基准数小的，填上空位，再从左边找比基准数大的，再填上右边的空位，以此类推

还有一个优化的点是，输入数组已经是有序（升序或降序）的，或者每次划分（partition）操作都选择到最小（或最大）的元素作为基准（pivot），导致每次划分只将一个元素移到它最终的位置上，而其他所有元素都留在原数组的另一侧。这种情况下，每次划分后的递归调用处理的子数组大小几乎相同，递归的深度接近n，导致总的比较和交换次数接近n^2。

下面通过三数取中法来更换基准数进行优化

java 复制代码 
    private static int getMid(int[] arr, int left, int right) {
        int mid = (left + right) / 2;
        if (arr[left] > arr[right]) {
            if (arr[mid] > arr[left]) {
                return left;
            } else if (arr[mid] < arr[right]) {
                return right;
            } else {
                return mid;
            }
        } else {
            if (arr[mid] > arr[right]) {
                return right;
            } else if (arr[mid] < arr[left]) {
                return left;
            } else {
                return mid;
            }
        }
    }

获取中位数之后进行交换：

​

另一个可以优化的是，由于快速排序的递归是一棵二叉树，每一层都是指数级的增长，所以最后两层会有很多递归需要走，但此时元素也趋于有序，就可以调用插入排序

java 复制代码 
        if(end - start + 1 <= 3){
            insertSort(arr,start,end);
            return;
        }

非递归实现

递归需要一直在栈上开辟空间，容易造成栈溢出，这里我们直接通过栈来进行非递归的实现

java 复制代码 
    public static void yquickSort(int[] arr,int start,int end){
        Stack<Integer> stack = new Stack<>();
        int pivot = part1(arr,start,end);
        if(pivot > start + 1){
            stack.push(start);
            stack.push(pivot - 1);
        }
        if(pivot < end - 1){
            stack.push(pivot + 1);
            stack.push(end);
        }
        while(!stack.isEmpty()){
            end = stack.pop();
            start = stack.pop();
            pivot = part1(arr,start,end);
            if(pivot > start + 1){
                stack.push(start);
                stack.push(pivot - 1);
            }
            if(pivot < end - 1){
                stack.push(pivot + 1);
                stack.push(end);
            }
        }
    }

🍁4. 归并排序

归并排序主要利用了分治法，先使每个子序列有序，再使子序列段间有序，组后合并分解的子序列

​

首先把要排序的数组依次分解，直到两两一组，之后开始合并，合并的过程也就是把两个有序数组再合并为一个有序数组的过程，每次取出两个数组的较小者存入合并的数组中，最终合并为一整个数组

java 复制代码 
    public static void mergeSort(int[] arr, int left, int right) {
        if (left >= right) return;
        int mid = (left + right) / 2;
        mergeSort(arr, left, mid);
        mergeSort(arr, mid + 1, right);
        merge(arr, left, mid, right);
    }
    
    //也就是合并两个有序数组
    public static void merge(int[] arr, int left, int mid, int right) {
        
        int[] tmp = new int[right - left + 1];
        int k = 0;
        int s1 = left;
        int s2 = mid + 1;
        //将分解后的两个数组每次取出最小值放在tmp数组中
        while (s1 <= mid && s2 <= right) {
            if (arr[s1] >= arr[s2]) {
                tmp[k++] = arr[s2++];
            } else {
                tmp[k++] = arr[s1++];
            }
        }
        while (s1 <= mid) {
            tmp[k++] = arr[s1++];
        }
        while (s2 <= right) {
            tmp[k++] = arr[s2++];
        }
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            arr[left + i] = tmp[i];
        }
    }

非递归实现归并排序

非递归实现也就是通过循环来模拟递归，依次合并数组，gap取

java 复制代码 
    public static void mergeSortNor(int[] arr) {
        int gap = 1;
        while (gap < arr.length) {
            for (int i = 0; i < arr.length; i += gap * 2) {
                int left = i;
                int mid = i + gap - 1;
                if (mid >= arr.length) {
                    mid = arr.length - 1;
                }
                int right = mid + gap;
                if (right >= arr.length) {
                    right = arr.length - 1;
                }
                merge(arr, left, mid, right);
            }
            gap *= 2;
        }
    }

🍁5. 计数排序

计数排序是一种基于非比较的排序算法，计数排序的主要特点是通过统计每个元素出现的次数，来确定每个元素在排序后数组中的位置，从而实现排序。
​

计算出以上数据出现的次数之后，再根据次数进行遍历，就可以达到排序的效果

java 复制代码 
    public static void countSort(int[] arr) {
        int maxVal = arr[0];
        int minVal = arr[0];
        //找到最大值和最小值
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            if (arr[i] > maxVal) {
                maxVal = arr[i];
            }
            if (arr[i] < minVal) {
                minVal = arr[i];
            }
        }
        int[] tmp = new int[maxVal - minVal + 1];
        //开始计数
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            tmp[arr[i] - minVal]++;
        }
        int index = 0;
        //将数据赋值给数组
        for (int i = 0; i < tmp.length; i++) {
            while (tmp[i]-- != 0) {
                arr[index] = i + minVal;
                index++;
            }
        }
    }
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