Matlab编程资源库（14）常微分方程初值问题的数值解法

一、 龙格－库塔法简介

龙格-库塔法（Runge-Kutta method）是一种常用的数值解微分方程的方法，由德国数学家卡尔·龙格（Carl Runge）和马丁·威尔海尔姆·库塔（Martin Wilhelm Kutta）在20世纪初提出。

龙格-库塔法通过将微分方程转化为差分方程来求解，即将微分方程中的导数近似为差分的形式。它是一种迭代的方法，通过迭代的方式逐步逼近精确解。

龙格-库塔法的基本思想是根据当前点的斜率来估计下一个点的值，从而得到微分方程的数值解。它的一般形式为：

k1 = h * f(t, y) k2 = h * f(t + h/2, y + k1/2) k3 = h * f(t + h/2, y + k2/2) k4 = h * f(t + h, y + k3)

y(t+h) = y(t) + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6

其中，t为当前的独立变量的值，y为当前的因变量的值，h为步长，f为微分方程的右侧函数。

龙格-库塔法的优点是精度较高，适用于求解较为复杂的微分方程。它可以根据精度的要求选择不同的阶数，通常常用的有四阶和二阶的龙格-库塔法。四阶龙格-库塔法通常是最常用的，具有较高的精度和稳定性。

二、龙格－库塔法的实现

基于龙格－库塔法， MATLAB 提供了求常微分方程数值解 的函数，一般调用格式为：

t,y\]=ode23('fname',tspan,y0) \[t,y\]=ode45('fname',tspan,y0) 其中 fname 是定义 f(t,y) 的函数文件名，该函数文件必须返回 一个列向量。 tspan 形式为 \[t0,tf\], 表示求解区间。 y0 是初始 状态列向量。 t 和 y 分别给出时间向量和相应的状态向量。 **例** **7-10** **设有初值问题，试求其数值解，并与精确解相比较** **(** **精确解为** **y(t)=)** **。** **(1)** **建立函数文件** **funt.m** **。**

function yp=funt(t,y)
yp=(y^2-t-2)/4/(t+1);

**(2)**求解微分方程。

t0=0;tf=10;
y0=2;
[t,y]=ode23('funt',[t0,tf],y0); %求数值解
y1=sqrt(t+1)+1; %求精确解
t'
y'
y1'
y为数值解，y1为精确值，显然两者近似。

运行结果 ：

三、函数极值

MATLAB 提供了基于单纯形算法求解函数极值的函数 fmin 和 fmins ， 它们分别用于单变量函数和多变量函数的最小 值，其调用格式为：
x=fmin('fname',x1,x2)
x=fmins('fname',x0)
这两个函数的调用格式相似。其中 fmin 函数用于求单变量函 数的最小值点。 fname 是被最小化的目标函数名， x1 和 x2 限定自变量的取值范围。 fmins 函数用于求多变量函数的 最小值点， x0 是求解的初始值向量。 MATLAB 没有专门提供求函数最大值的函数，只要注意 到-f(x)在区间 (a,b) 上的最小值就是 f(x) 在 (a,b) 的最大值， 所以 fmin(f,x1,x2) 返回函数 f(x) 在区间 (x1,x2) 上的最大值。
例 7-13 求 f(x)=x 3 -2x-5 在 [0,5] 内的最小值点。
(1) 建立函数文件 mymin.m 。

function fx=mymin(x)
fx=x.^3-2*x-5;

(2) 调用 fmin 函数求最小值点。

x=fmin('mymin',0,5)
x=0.8165

结语

即使世界偶尔薄凉

内心也要繁花似锦

浅浅喜，静静爱

深深懂得，淡淡释怀

！！！