一、 龙格-库塔法简介
龙格-库塔法(Runge-Kutta method)是一种常用的数值解微分方程的方法,由德国数学家卡尔·龙格(Carl Runge)和马丁·威尔海尔姆·库塔(Martin Wilhelm Kutta)在20世纪初提出。
龙格-库塔法通过将微分方程转化为差分方程来求解,即将微分方程中的导数近似为差分的形式。它是一种迭代的方法,通过迭代的方式逐步逼近精确解。
龙格-库塔法的基本思想是根据当前点的斜率来估计下一个点的值,从而得到微分方程的数值解。它的一般形式为:
k1 = h * f(t, y) k2 = h * f(t + h/2, y + k1/2) k3 = h * f(t + h/2, y + k2/2) k4 = h * f(t + h, y + k3)
y(t+h) = y(t) + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6
其中,t为当前的独立变量的值,y为当前的因变量的值,h为步长,f为微分方程的右侧函数。
龙格-库塔法的优点是精度较高,适用于求解较为复杂的微分方程。它可以根据精度的要求选择不同的阶数,通常常用的有四阶和二阶的龙格-库塔法。四阶龙格-库塔法通常是最常用的,具有较高的精度和稳定性。
二、龙格-库塔法的实现
基于龙格-库塔法, MATLAB 提供了求常微分方程数值解 的函数,一般调用格式为:
[t,y]=ode23('fname',tspan,y0)
[t,y]=ode45('fname',tspan,y0)
其中 fname 是定义 f(t,y) 的函数文件名,该函数文件必须返回 一个列向量。
tspan 形式为 [t0,tf], 表示求解区间。 y0 是初始 状态列向量。 t 和 y 分别给出时间向量和相应的状态向量。
例 7-10 设有初值问题,试求其数值解,并与精确解相比较 ( 精确解为 y(t)=) 。
(1) 建立函数文件 funt.m 。
Matlab
function yp=funt(t,y)
yp=(y^2-t-2)/4/(t+1);
**(2)**求解微分方程。
Matlab
t0=0;tf=10;
y0=2;
[t,y]=ode23('funt',[t0,tf],y0); %求数值解
y1=sqrt(t+1)+1; %求精确解
t'
y'
y1'
y为数值解,y1为精确值,显然两者近似。
运行结果 :
三、函数极值
MATLAB 提供了基于单纯形算法求解函数极值的函数 fmin 和 fmins , 它们分别用于单变量函数和多变量函数的最小 值,其调用格式为:
x=fmin('fname',x1,x2)
x=fmins('fname',x0)
这两个函数的调用格式相似。其中 fmin 函数用于求单变量函 数的最小值点。 fname 是被最小化的目标函数名, x1 和 x2 限定自变量的取值范围。 fmins 函数用于求多变量函数的 最小值点, x0 是求解的初始值向量。 MATLAB 没有专门提供求函数最大值的函数,只要注意 到-f(x)在区间 (a,b) 上的最小值就是 f(x) 在 (a,b) 的最大值, 所以 fmin(f,x1,x2) 返回函数 f(x) 在区间 (x1,x2) 上的最大值。
例 7-13 求 f(x)=x 3 -2x-5 在 [0,5] 内的最小值点。
(1) 建立函数文件 mymin.m 。
Matlab
function fx=mymin(x)
fx=x.^3-2*x-5;
(2) 调用 fmin 函数求最小值点。
Matlab
x=fmin('mymin',0,5)
x=0.8165
结语
即使世界偶尔薄凉
内心也要繁花似锦
浅浅喜,静静爱
深深懂得,淡淡释怀
!!!