图论-最小生成树

Prim算法

算法描述

dist[i]<--

for(i =0;i<n;i++)

t<--找到集合外最近的点

用t更新其他点到集合的距离(这个集合就是已经确定的最小生成树的点和边)

st[t] = true;

  1. dist[i] <-- 无穷

    这一步是初始化所有节点到集合的最小距离为无穷大。dist[i] 表示从已选节点集合到节点 i 的最小边权值。在算法开始时,所有的节点距离都是无穷大,因为还没有选择任何节点。

    for (i = 0; i < n; i++) {
        dist[i] = INF; // INF 代表无穷大
    }
    
  2. for (i = 0; i < n; i++)

    这是一个循环,用来初始化每个节点的距离。通常情况下,这里的 n 是图中节点的数量。在 Prim 算法中,我们会从集合中逐步选出节点,因此一开始要设置所有节点的距离。

    for (i = 0; i < n; i++) {
        // 初始化 dist 数组
    }
    
  3. t <-- 找到集合外最近的点

    这一部分是 Prim 算法的核心。t 是当前最小生成树(MST)中包含的节点集合之外的节点中,距离集合最近的节点。这个节点 t 是当前最小边权值的节点,且这个节点在生成树中尚未包含。

    int t = -1;
    for (i = 0; i < n; i++) {
        if (!st[i] && (t == -1 || dist[i] < dist[t])) {
            t = i;
        }
    }
    

    在这个代码片段中,st 是一个布尔数组,用来表示节点是否已被加入到生成树中。dist[i] 是节点 i 到生成树中节点的最小距离。

  4. 用 t 更新其他点到集合的距离

    一旦找到 t,你需要更新所有与 t 相连的、尚未被包含在生成树中的节点的距离。如果通过 t 到某个节点 v 的边权值更小,就更新 dist[v]

    for (每个与 t 相连的节点 v) {
        if (!st[v] && edge(t, v) < dist[v]) {
            dist[v] = edge(t, v);
        }
    }
    

    这里 edge(t, v) 表示从节点 t 到节点 v 的边的权值。

  5. st[t] = true

    最后,将 t 标记为已经包含在生成树中。这表示节点 t 现在是最小生成树的一部分,不再需要考虑 t 的边来更新其他节点的距离。

    st[t] = true;
    

    这里 st 是一个布尔数组,st[i]true 表示节点 i 已经被包含在生成树中。

图例

已知有下面树:

第一步:初始化,将所有点距离集合的距离设置为无穷,此时所有点都没有加入集合。

将节点1加入集合(此时所有点距离集合都是inf,所以可以随便找到一个点

根据节点1更新其他点到集合的最小距离,暂时将2、3、4更新为(1)(2)(3)。

然后将节点1放入集合

再找到集合外最近的点2号点。

根据2号点更新其他不在集合的点的距离,此时没有借助2号点能变得更小的,因此不变。

将2号点放入集合中。

再次找到不在集合中的最小的点,即3号点。

根据3号点更新距离,没有改变

将3号点放入集合

继续找4号点,也没有更新距离。

算法结束。

例题

858. Prim算法求最小生成树 - AcWing题库

cpp 复制代码
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N =510,INF=100000000;
int g[N][N],dist[N];
bool st[N];
int n,m;

int prim(){
    fill(dist,dist+N,INF);
    int res=0;
    dist[1] = 0;//把第一个点设置为0方便后面操作。
    for(int i=0;i<n;i++){
        int t=-1;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(!st[j] && (t ==-1 || dist[t] > dist[j]))
            {//注意,这里是比较dist[t] > dist[j],在st==false的点中找到一个最小的
                t = j;
            }
        }
        if(dist[t]==INF){
            return INF;
        }//不是第一次轮回的,一定有一个最小的点,如果没有说明不连通。
        
        res += dist[t];//这两步一定要在前面,因为这是将t放入集合,后面才不会再次更新t了
        st[t] = true;
        
        //根据节点t更新其他距离。
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(!st[j]){
                dist[j] = min(dist[j],g[t][j]);//这里省去了判断两个点是否有边,即使没有边也是INF
            }
        }
        

    }
    return res;
    
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            g[i][j] = INF;
        }
    }
    for(int i=0;i<m;i++){
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        g[a][b] = g[b][a] = min(c,g[a][b]);//一定要注意只存储最小边。
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) g[i][i] = 0;//解决自环问题
    int ans = prim();
    if(ans == INF) printf("impossible");
    else printf("%d",ans);
    
    return 0;
}

Kruskal算法

算法描述:

将每一条边按照权重从小到大排序

枚举每一条边a,b权重是c

如何a、b所在集合不连通,将a-b加入到集合中去。

这里判断a、b是否在同意集合需要用并查集来解决。

cpp 复制代码
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5+10,M=2*N;
int res,p[N],n,m,st[N],cnt;
struct E{
    int a,b,w;
    bool operator<(const E &e){
        return this->w<e.w;
    }
}Edges[M];//注意存储的是边

int myfind(int x){
    if(x!=p[x]) p[x] = myfind(p[x]);
    return p[x];
}

int krus(){
    for(int i=1;i<=m;i++){
        
        E e = Edges[i];
        int sa = myfind(e.a);
        int sb = myfind(e.b);
        if(sa != sb){
            res+=e.w;
            p[sb] = sa;
            cnt++;
        }
    }
    if(cnt<n-1) return 0;
    return res;
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        p[i] = i;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        Edges[i].a=a;
        Edges[i].b=b;
        Edges[i].w=c;
    }
    sort(Edges+1,Edges+m+1);
    int tag = krus();
    if(tag==0) cout<<"impossible";
    else{
        cout<<tag;
    }
    
    return 0;
}
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