拓扑排序：Kahn算法与DFS算法

捕风捉你2024-08-06 11:40

引言

拓扑排序是有向无环图（DAG）中的一种线性排序，使得对于图中的每一条有向边 ( u \rightarrow v )，顶点 ( u ) 在排序中出现在顶点 ( v ) 之前。本文将详细介绍两种实现拓扑排序的算法：Kahn算法和基于深度优先搜索（DFS）的算法。

目录

  1. Kahn算法
  2. 基于DFS的算法

Kahn算法

定义

Kahn算法是一种基于入度的拓扑排序算法。该算法通过不断移除入度为0的顶点及其边来构建拓扑排序。

算法步骤

  1. 初始化：计算图中所有顶点的入度，并将所有入度为0的顶点添加到一个队列中。
  2. 构建排序：从队列中取出一个顶点，将其添加到拓扑排序的结果中，并移除该顶点及其所有出边。对于每个被移除的出边，如果目标顶点的入度减为0，则将该顶点添加到队列中。
  3. 检测环：重复步骤2，直到队列为空。如果排序结果中的顶点数量小于图中的顶点数量，则说明图中存在环，无法进行拓扑排序。

示例

假设我们有一个有向无环图，顶点集合为 ({A, B, C, D, E, F})，边集合为 ({(A, C), (B, C), (B, D), (C, E), (D, F), (E, F)})。
A C B D E F

Kahn算法实现

下面是用Java实现Kahn算法的代码示例：

java 复制代码 
import java.util.*;

public class KahnAlgorithm {
    private int vertices; // 顶点数量
    private List<Integer>[] adjList; // 邻接表

    public KahnAlgorithm(int vertices) {
        this.vertices = vertices;
        adjList = new List[vertices];
        for (int i = 0; i < vertices; i++) {
            adjList[i] = new ArrayList<>();
        }
    }

    // 添加边
    public void addEdge(int src, int dest) {
        adjList[src].add(dest);
    }

    // Kahn算法实现的拓扑排序
    public void topologicalSort() {
        int[] inDegree = new int[vertices];
        for (int i = 0; i < vertices; i++) {
            for (int dest : adjList[i]) {
                inDegree[dest]++;
            }
        }

        Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
        for (int i = 0; i < vertices; i++) {
            if (inDegree[i] == 0) {
                queue.add(i);
            }
        }

        List<Integer> topOrder = new ArrayList<>();
        while (!queue.isEmpty()) {
            int u = queue.poll();
            topOrder.add(u);

            for (int neighbor : adjList[u]) {
                if (--inDegree[neighbor] == 0) {
                    queue.add(neighbor);
                }
            }
        }

        if (topOrder.size() != vertices) {
            System.out.println("图中存在环，无法进行拓扑排序");
            return;
        }

        System.out.println("拓扑排序结果：");
        for (int node : topOrder) {
            System.out.print(node + " ");
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        KahnAlgorithm graph = new KahnAlgorithm(6);
        graph.addEdge(0, 2);
        graph.addEdge(1, 2);
        graph.addEdge(1, 3);
        graph.addEdge(2, 4);
        graph.addEdge(3, 5);
        graph.addEdge(4, 5);
        graph.topologicalSort();
    }
}

代码注释

  1. 类和构造函数：

    java 复制代码 
    public class KahnAlgorithm {
    private int vertices; // 顶点数量
    private List<Integer>[] adjList; // 邻接表

    public KahnAlgorithm(int vertices) {
        this.vertices = vertices;
        adjList = new List[vertices];
        for (int i = 0; i < vertices; i++) {
            adjList[i] = new ArrayList<>();
        }
    }

    KahnAlgorithm 类包含图的顶点数量和邻接表，并有一个构造函数来初始化这些变量。

  2. 添加边：

    java 复制代码 
    public void addEdge(int src, int dest) {
    adjList[src].add(dest);
}

    addEdge 方法用于向图中添加边。

  3. Kahn算法的拓扑排序：

    java 复制代码 
    public void topologicalSort() {
    int[] inDegree = new int[vertices];
    for (int i = 0; i < vertices; i++) {
        for (int dest : adjList[i]) {
            inDegree[dest]++;
        }
    }

    Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
    for (int i = 0; i < vertices; i++) {
        if (inDegree[i] == 0) {
            queue.add(i);
        }
    }

    List<Integer> topOrder = new ArrayList<>();
    while (!queue.isEmpty()) {
        int u = queue.poll();
        topOrder.add(u);

        for (int neighbor : adjList[u]) {
            if (--inDegree[neighbor] == 0) {
                queue.add(neighbor);
            }
        }
    }

    if (topOrder.size() != vertices) {
        System.out.println("图中存在环，无法进行拓扑排序");
        return;
    }

    System.out.println("拓扑排序结果：");
    for (int node : topOrder) {
        System.out.print(node + " ");
    }
}

    topologicalSort 方法实现了Kahn算法，进行拓扑排序。

  4. 主函数：

    java 复制代码 
    public static void main(String[] args) {
    KahnAlgorithm graph = new KahnAlgorithm(6);
    graph.addEdge(0, 2);
    graph.addEdge(1, 2);
    graph.addEdge(1, 3);
    graph.addEdge(2, 4);
    graph.addEdge(3, 5);
    graph.addEdge(4, 5);
    graph.topologicalSort();
}

    main 方法创建一个图并进行拓扑排序。

Kahn算法的执行过程图解

取出顶点F 取出顶点E 取出顶点D 取出顶点C 取出顶点B 取出顶点A 初始化入度和队列 入度为0 入度为0 取出A 取出B 取出C 取出D 取出E 取出F 结果: A, B, C, D, E, F 队列: F 结果: A, B, C, D, E 队列: E, F 移除E的出边 结果: A, B, C, D 队列: D, E 移除D的出边 结果: A, B, C 队列: C, D 移除C的出边 结果: A, B 队列: B, C 移除B的出边 结果: A 队列: A, B 移除A的出边 加入队列 顶点 A 加入队列 顶点 B

基于DFS的算法

定义

基于DFS的拓扑排序算法通过递归的方式遍历图的每个顶点，并在访问完所有邻接顶点后将顶点压入栈中，最终从栈顶依次弹出顶点即为拓扑排序结果。

算法步骤

  1. 初始化：创建一个栈用于存储排序结果，标记所有顶点为未访问。
  2. DFS遍历：对于每个未访问的顶点，进行DFS遍历。递归访问该顶点的所有邻接顶点，访问完毕后将该顶点压入栈中。
  3. 构建排序：重复步骤2，直到所有顶点都被访问。最后从栈顶

依次弹出顶点即为拓扑排序结果。

示例

假设我们有一个有向无环图，顶点集合为 ({A, B, C, D, E, F})，边集合为 ({(A, C), (B, C), (B, D), (C, E), (D, F), (E, F)})。
A C B D E F

基于DFS的算法实现

下面是用Java实现基于DFS的拓扑排序算法的代码示例：

java 复制代码 
import java.util.*;

public class DFSTopologicalSort {
    private int vertices; // 顶点数量
    private List<Integer>[] adjList; // 邻接表

    public DFSTopologicalSort(int vertices) {
        this.vertices = vertices;
        adjList = new List[vertices];
        for (int i = 0; i < vertices; i++) {
            adjList[i] = new ArrayList<>();
        }
    }

    // 添加边
    public void addEdge(int src, int dest) {
        adjList[src].add(dest);
    }

    // 递归实现DFS
    private void DFS(int vertex, boolean[] visited, Stack<Integer> stack) {
        visited[vertex] = true;
        for (int neighbor : adjList[vertex]) {
            if (!visited[neighbor]) {
                DFS(neighbor, visited, stack);
            }
        }
        stack.push(vertex);
    }

    // 基于DFS的拓扑排序
    public void topologicalSort() {
        Stack<Integer> stack = new Stack<>();
        boolean[] visited = new boolean[vertices];
        for (int i = 0; i < vertices; i++) {
            if (!visited[i]) {
                DFS(i, visited, stack);
            }
        }

        System.out.println("拓扑排序结果：");
        while (!stack.isEmpty()) {
            System.out.print(stack.pop() + " ");
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        DFSTopologicalSort graph = new DFSTopologicalSort(6);
        graph.addEdge(0, 2);
        graph.addEdge(1, 2);
        graph.addEdge(1, 3);
        graph.addEdge(2, 4);
        graph.addEdge(3, 5);
        graph.addEdge(4, 5);
        graph.topologicalSort();
    }
}

代码注释

  1. 类和构造函数：

    java 复制代码 
    public class DFSTopologicalSort {
    private int vertices; // 顶点数量
    private List<Integer>[] adjList; // 邻接表

    public DFSTopologicalSort(int vertices) {
        this.vertices = vertices;
        adjList = new List[vertices];
        for (int i = 0; i < vertices; i++) {
            adjList[i] = new ArrayList<>();
        }
    }

    DFSTopologicalSort 类包含图的顶点数量和邻接表，并有一个构造函数来初始化这些变量。

  2. 添加边：

    java 复制代码 
    public void addEdge(int src, int dest) {
    adjList[src].add(dest);
}

    addEdge 方法用于向图中添加边。

  3. 递归实现DFS：

    java 复制代码 
    private void DFS(int vertex, boolean[] visited, Stack<Integer> stack) {
    visited[vertex] = true;
    for (int neighbor : adjList[vertex]) {
        if (!visited[neighbor]) {
            DFS(neighbor, visited, stack);
        }
    }
    stack.push(vertex);
}

    DFS 方法递归访问顶点及其邻接顶点，并在访问完所有邻接顶点后将顶点压入栈中。

  4. 基于DFS的拓扑排序：

    java 复制代码 
    public void topologicalSort() {
    Stack<Integer> stack = new Stack<>();
    boolean[] visited = new boolean[vertices];
    for (int i = 0; i < vertices; i++) {
        if (!visited[i]) {
            DFS(i, visited, stack);
        }
    }

    System.out.println("拓扑排序结果：");
    while (!stack.isEmpty()) {
        System.out.print(stack.pop() + " ");
    }
}

    topologicalSort 方法实现了基于DFS的拓扑排序，输出拓扑排序结果。

  5. 主函数：

    java 复制代码 
    public static void main(String[] args) {
    DFSTopologicalSort graph = new DFSTopologicalSort(6);
    graph.addEdge(0, 2);
    graph.addEdge(1, 2);
    graph.addEdge(1, 3);
    graph.addEdge(2, 4);
    graph.addEdge(3, 5);
    graph.addEdge(4, 5);
    graph.topologicalSort();
}

    main 方法创建一个图并进行拓扑排序。

基于DFS算法的执行过程图解

输出结果 DFS遍历顶点1 DFS遍历顶点0 初始化 从栈顶依次弹出顶点 拓扑排序结果:0 1 3 2 4 5 访问顶点1 顶点1 顶点1的邻接顶点3 访问顶点3 顶点3的邻接顶点5 顶点5已访问,跳过 将顶点3压入栈中 将顶点1压入栈中 访问顶点0 顶点0 顶点0的邻接顶点2 访问顶点2 顶点2的邻接顶点4 访问顶点4 顶点4的邻接顶点5 访问顶点5 将顶点5压入栈中 将顶点4压入栈中 将顶点2压入栈中 创建栈 标记所有顶点为未访问

结论

通过上述讲解和实例代码，我们详细展示了Kahn算法和基于DFS的拓扑排序算法的定义、步骤及其实现。希望这篇博客对您有所帮助！

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关键内容总结：

  • Kahn算法的定义和实现
  • 基于DFS的拓扑排序算法的定义和实现
  • 两种算法的执行过程图解

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