面试经典算法150题系列-接雨水

接雨水

给定 n 个非负整数表示每个宽度为 1 的柱子的高度图，计算按此排列的柱子，下雨之后能接多少雨水。

示例 1：

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输入：height = [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1]
输出：6
解释：上面是由数组 [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1] 表示的高度图，在这种情况下，可以接 6 个单位的雨水（蓝色部分表示雨水）。

示例 2：

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输入：height = [4,2,0,3,2,5]
输出：9

实现思路：

接雨水问题的实现思路主要基于以下观察：

局部最大值：一个柱子能接雨水的量取决于它左右两边最高的柱子高度中的较小值（因为雨水只能在两者较低的一侧积累）。
双指针 ：使用两个指针 left 和 right 分别从数组的两端向中间遍历。这样可以同时考虑左右两边的柱子高度。
维护最大高度 ：在遍历过程中，维护两个变量 leftMax 和 rightMax 来记录从左边和右边开始遍历到目前为止遇到的最高的柱子高度。
计算雨水量 ：当遍历到的柱子高度小于 leftMax 或 rightMax 时，可以计算出当前柱子能接的雨水量，即 min(leftMax, rightMax) - height[i]。如果柱子高度大于等于记录的最大高度，则更新 leftMax 或 rightMax。
累加雨水量 ：将每次计算出的雨水量累加到总雨水量 ans 中。
边界条件：如果输入数组为空或长度为0，则直接返回0，因为没有柱子可以接雨水。

具体步骤如下：

初始化两个指针 left 和 right 分别指向数组的开始和结束位置，以及两个变量 leftMax 和 rightMax 为0。
使用一个循环，当 left 小于 right 时继续执行：
- 如果 height[left] < height[right]，则移动 left 指针，并更新 leftMax：
  - 如果当前柱子高度大于等于 leftMax，则更新 leftMax。
  - 否则，计算当前柱子能接的雨水量，并累加到 ans。
- 否则，移动 right 指针，并更新 rightMax：类似地更新 rightMax 和累加雨水量。
当 left 和 right 相遇时，遍历结束，返回计算出的总雨水量 ans。

这种双指针的方法时间复杂度为 O(n)，其中 n 是数组 height 的长度，因为每个元素只被遍历一次。空间复杂度为 O(1)，因为只需要常数级别的额外空间。

思路模拟：

让我们通过一个模拟来更深入地理解接雨水问题的解决思路。假设我们有以下高度数组：

height = $0, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 3, 2, 1, 2, 1$

我们的目标是找到这些柱子之间可以接多少雨水。下面是一步步的模拟过程：

初始化两个指针 left 和 right 分别指向数组的两端，即 left = 0 和 right = length - 1。同时，初始化两个变量 leftMax 和 rightMax 来记录左右两边遍历过程中的最大高度，初始值设为0。
遍历开始：
- 当 left < right 时，执行循环。
- 比较 height[left] 和 height[right]：
  - 如果 height[left] < height[right]，说明我们处于左侧的较低部分，我们需要更新 leftMax 并可能计算左侧的雨水量。
  - 如果 height[left] >= height[right]，我们处于右侧的较低部分或两边高度相同，更新 rightMax 并可能计算右侧的雨水量。
在每一步中，我们执行以下操作：
- 如果当前柱子的高度小于 leftMax，则当前柱子可以接到雨水，雨水量为 leftMax - height[left]。
- 如果当前柱子的高度大于或等于 leftMax，则更新 leftMax 为当前柱子的高度。
同理，对于右侧：
- 如果 height[right] < height[left]，则 rightMax 可能更新，并且可能计算右侧的雨水量。
- 如果 height[right] 更新了 rightMax，则不会立即计算雨水，因为只有在移动到更矮的柱子时才会计算。
重复步骤3和4，直到 left 和 right 相遇。
累加每一步计算的雨水量，得到最终结果。

让我们模拟这个过程：

初始状态：left = 0, right = 12, leftMax = 0, rightMax = 0, ans = 0
移动 left 到下一个元素，leftMax 更新为1（height[1]）。
移动 right 到前一个元素，rightMax 更新为1（height[12]）。
继续移动 left 和 right，更新 leftMax 和 rightMax，直到它们指向相邻的元素。

下面是模拟的详细步骤：

left: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (right)

height: 0 1 0 2 1 0 1 3 2 1 2 1 0

leftMax: 0 1 1 2 2 2 3 3 3 2 2 1 1

rightMax: 0 0 0 0 1 1 1 2 3 3 2 1 1

ans: 0 0 0 2 3 4 4 5 6 6 5 4 3

在每一步，我们可以看到 leftMax 和 rightMax 的更新，以及计算的雨水量累加到 ans 中。最终，ans 的值是6，这就是我们可以接到的雨水总量。

请注意，这个模拟是为了演示算法的逻辑流程，实际的代码实现会使用条件语句来确定何时更新 leftMax、rightMax 以及何时计算雨水量。

实现代码：

java 复制代码

public int trap(int[] height) {
        if (height == null || height.length == 0) {
            return 0;
        }
        
        int n = height.length;
        int left = 0, right = n - 1;
        int leftMax = 0, rightMax = 0;
        int ans = 0;
        
        while (left < right) {
            if (height[left] < height[right]) {
                // 当左边的柱子高度小于右边的柱子高度
                if (height[left] >= leftMax) {
                    // 更新左边的柱子能接的雨水量
                    leftMax = height[left];
                } else {
                    // 计算当前柱子能接的雨水量，并累加到总雨水量中
                    ans += leftMax - height[left];
                }
                left++;
            } else {
                // 右边的柱子高度不小于左边的柱子高度
                if (height[right] >= rightMax) {
                    // 更新右边的柱子能接的雨水量
                    rightMax = height[right];
                } else {
                    // 计算当前柱子能接的雨水量，并累加到总雨水量中
                    ans += rightMax - height[right];
                }
                right--;
            }
        }
        
        return ans;
    }