【机器学习】（基础篇三） —— 损失函数和梯度下降

损失函数

损失函数（Loss Function），也称为代价函数（Cost Function）或误差函数（Error Function），是机器学习和深度学习中一个核心的概念。它用于量化模型预测与实际目标之间的差异，是优化算法（如梯度下降）试图最小化的函数。损失函数的选择直接影响模型的学习过程和性能。

损失函数的种类

损失函数的类型取决于具体的应用场景，常见的有以下几类：

均方误差（Mean Squared Error, MSE） ：
- 用于回归任务，计算的是预测值与真实值之间的差的平方的平均值。
- 公式为： M S E = 1 n ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) 2 \mathrm{MSE}=\frac1n\sum_{i=1}^n(y_i-\hat{y}_i)^2 MSE=n1i=1∑n(yi−y^i)2
- 对于较大的误差给予更大的惩罚。
均方根误差（Root Mean Squared Error, RMSE） ：
- 也是用于回归，是MSE的平方根，单位与目标变量相同，便于解释。
- 公式为： R M S E = 1 n ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) 2 \mathrm{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(y_i-\hat{y}_i)^2} RMSE=n1i=1∑n(yi−y^i)2
平均绝对误差（Mean Absolute Error, MAE） ：
- 同样用于回归，计算的是预测值与真实值之间的差的绝对值的平均值。
- 公式为： M A E = 1 n ∑ i = 1 n ∣ y i − y ^ i ∣ \mathrm{MAE}=\frac1n\sum_{i=1}^n|y_i-\hat{y}_i| MAE=n1i=1∑n∣yi−y^i∣
- 对于所有的误差给予相同的惩罚，相比MSE更鲁棒于异常值。
交叉熵损失（Cross Entropy Loss） ：
- 广泛用于分类任务，特别是多类分类和二分类问题。
- 对于二分类问题，通常使用二元交叉熵损失。
- 公式为： CrossEntropy = − 1 n ∑ i = 1 n [ y i log ⁡ ( y ^ i ) + ( 1 − y i ) log ⁡ ( 1 − y ^ i ) ] \text{CrossEntropy}=-\frac1n\sum_{i=1}^n[y_i\log(\hat{y}_i)+(1-y_i)\log(1-\hat{y}_i)] CrossEntropy=−n1i=1∑n[yilog(y^i)+(1−yi)log(1−y^i)]
Hinge Loss（合页损失） ：
- 用于支持向量机（SVM）分类，鼓励正确的分类并且惩罚错误分类的边界点。
- 公式为： H i n g e L o s s = max ⁡ ( 0 , 1 − y i y ^ i ) \mathrm{HingeLoss}=\max(0,1-y_i\hat{y}_i) HingeLoss=max(0,1−yiy^i)

选择损失函数

选择合适的损失函数是构建机器学习模型的关键步骤之一，它应当反映模型预测错误的严重性，并且与模型的优化目标相一致。例如，在回归任务中，如果异常值的存在需要被考虑，MAE可能比MSE更适合；而在分类任务中，交叉熵损失是标准的选择，因为它鼓励模型输出概率式的预测。

在实际应用中，损失函数的选择还可能受到数据特性和模型结构的影响，有时需要通过实验来确定最合适的损失函数。

梯度下降

梯度下降用于最小化或最大化一个函数（通常是一个损失函数或代价函数）。其基本思想是利用函数的梯度（多变量函数的导数）来确定函数值下降最快的方向，从而逐步迭代地更新参数，直到找到函数的局部最小值或最小值。

梯度下降法在大数据集和高维特征空间中更为实用，因为它只需要每次更新一小部分数据，但可能需要更多的计算时间来达到收敛。在某些直接求解解析解不可行或成本过高时使用梯度下降法。

梯度下降中的目标函数还是使用均方误差，求其最小值，但为了计算方便（平方求导后消掉），让其除以2n：

梯度下降中的目标函数还是使用均方误差，求其最小值，但为了计算方便，让其除以2n：

J ( θ 0 , θ 1 ) = 1 2 n ∑ i = 1 n ( y i − ( θ 0 + θ 1 x i ) ) 2 \begin{aligned}J(\theta_0,\theta_1)&=\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^n(y_i-(\theta_0+\theta_1x_i))^2\end{aligned} J(θ0,θ1)=2n1i=1∑n(yi−(θ0+θ1xi))2

先初始化两个参数（任意值或者进行预训练），然后计算梯度：

∂ J ∂ θ 0 = − 1 n ∑ i = 1 n ( y i − ( θ 0 + θ 1 x i ) ) ∂ J ∂ θ 1 = − 1 n ∑ i = 1 n ( y i − ( θ 0 + θ 1 x i ) ) ⋅ x i \begin{aligned}\frac{\partial J}{\partial\theta_0}&=-\frac1n\sum_{i=1}^n(y_i-(\theta_0+\theta_1x_i))\\\\\frac{\partial J}{\partial\theta_1}&=-\frac1n\sum_{i=1}^n(y_i-(\theta_0+\theta_1x_i))\cdot x_i\end{aligned} ∂θ0∂J∂θ1∂J=−n1i=1∑n(yi−(θ0+θ1xi))=−n1i=1∑n(yi−(θ0+θ1xi))⋅xi

更新参数：

θ 0 : = θ 0 − α × 1 n ∑ i = 1 n ( y i − ( θ 0 + θ 1 x i ) ) θ 1 : = θ 1 − α × 1 n ∑ i = 1 n ( y i − ( θ 0 + θ 1 x i ) ) ⋅ x i \begin{aligned}\theta_0&:=\theta_0-\alpha\times\frac1n\sum_{i=1}^n(y_i-(\theta_0+\theta_1x_i))\\\\\theta_1&:=\theta_1-\alpha\times\frac1n\sum_{i=1}^n(y_i-(\theta_0+\theta_1x_i))\cdot x_i\end{aligned} θ0θ1:=θ0−α×n1i=1∑n(yi−(θ0+θ1xi)):=θ1−α×n1i=1∑n(yi−(θ0+θ1xi))⋅xi

重复更新参数直到满足停止条件（例如，损失函数几乎不再降低或达到预设的最大迭代次数）。

【代码示例】

py 复制代码

# 梯度下降算法
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-1, 6, 141)
y = (x - 2.5) ** 2 - 1

plt.plot(x ,y)
plt.figure()
plt.show()

def dj(theta):  # 求导
    return 2 * (theta - 2.5)
def J(theta): # 损失函数
    return (theta-2.5) ** 2 - 1

theta = 0.0 # 初始化参数
epsilon = 1e-8  # 阈值
eta = 0.1 # 下降的步长
history_theta = [] # 保存历史参数
while True:
    gradient = dj(theta) # 梯度
    last_theta = theta
    history_theta.append(theta)
    theta = theta - eta * gradient
    if (abs(J(theta) - J(last_theta)) < epsilon): # 两次迭代损失函数变化小于阈值
        break
plt.plot(x, J(x))
plt.plot(np.array(history_theta), J(np.array(history_theta)), 'r', marker='+')
plt.show()
plt.show()

运行结果：

归一化

在有多个特征的情况下，为了达到好的拟合效果，通常是变化范围大的参数小，变化范围小的参数大，这样的参数设置会让梯度下降的时候参数都集中在同一个区域，形成一个椭圆，椭圆在进行梯度下降的时候会在较短轴的方向上快速移动，而在较长轴的方向上缓慢移动，导致迭代路径呈现锯齿状，效率低下。这是因为椭圆形等高线意味着在某些方向上需要较小的学习率，而在其他方向上则需要较大的学习率，选择一个单一的学习率来适应所有方向是很困难的。如下图所示

使用归一化对数据进行缩放可以达到更好的梯度下降效果，归一化可以在训练过程中维持各层输出的稳定分布，从而减少梯度消失或爆炸的问题。

最小最大归一化 (Min-Max Scaling)： X n o r m = X − X min ⁡ X max ⁡ − X min ⁡ X_{{\mathrm{norm}}}=\frac{X-X_{\min}}{X_{\max}-X_{\min}} Xnorm=Xmax−XminX−Xmin

Z-Score标准化 (Standardization) ： X s t d = X − μ σ X_{\mathrm{std}}=\frac{X-\mu}{\sigma} Xstd=σX−μ

梯度下降中学习率的选择

在使用梯度下降法的时候，学习率α的选择至关重要，α过大可能导致损失函数不能正常下降，α过小可能导致损失函数下降太慢，需要很多次迭代才能到到损失函数的收敛。

α过大会出现的情况：

通常从一个较小值开始，利用损失函数J的变化趋势，多次尝试找到一个合适的学习率