【递归】1.汉诺塔问题

面试题 08.06. 汉诺塔问题
leetcode链接：https://leetcode.cn/problems/hanota-lcci/description/

在经典汉诺塔问题中，有 3 根柱子及 N 个不同大小的穿孔圆盘，盘子可以滑入任意一根柱子。
一开始，所有盘子自上而下按升序依次套在第一根柱子上(即每一个盘子只能放在更大的盘子上面)。
移动圆盘时受到以下限制:
(1) 每次只能移动一个盘子;
(2) 盘子只能从柱子顶端滑出移到下一根柱子;
(3) 盘子只能叠在比它大的盘子上。

请编写程序，用栈将所有盘子从第一根柱子移到最后一根柱子。

你需要原地修改栈。

示例1:

 输入：A = [2, 1, 0], B = [], C = []
 输出：C = [2, 1, 0]
示例2:

 输入：A = [1, 0], B = [], C = []
 输出：C = [1, 0]
提示:

A中盘子的数目不大于14个。

本文章主要围绕两个问题来展开：
1.为什么汉诺塔问题能使用递归？
2.如何解决汉诺塔问题？

++为什么汉诺塔问题能使用递归？++

可以使用递归的题目，可以总结为一句话：
解决大问题，可以使用相同类型的子问题

解决子问题 ，可以使用相同类型的子问题

我们来对汉诺塔问题进行分析：
当N = 1时，移动的策略：

直接将A中的盘子转移到C中

当N = 2时，移动的策略:

1.将A上面的第一个盘子移动到B上，

2.将A上面的第二个盘子移动到C上

3.将B上面的盘子移动到C上

当N = 3时，移动的策略:
1.将A上面的第一个盘子移动到C上
2.将A上面的第二个盘子移动到B上
3.将C上面的第一个盘子移动到B上

4.将A上面的第一个盘子移动到C上

5.将B上面的第一个盘子移动到A上
6.将B上面的第二个盘子移动到C上
7.将A上面的第一个盘子移动到C上

通过上面的演示，可以得到什么？

下面的三步
1.将A上面的第一个盘子移动到C上
2.将A上面的第二个盘子移动到B上
3.将C上面的第一个盘子移动到B上

当N = 3时，前面的三步就是将A中的N-1个盘子借助C移动到B上，而这个操作，就是和N = 2时一模一样的。

而下面的这三步，
5.将B上面的第一个盘子移动到A上
6.将B上面的第二个盘子移动到C上
7.将A上面的第一个盘子移动到C上

当N = 3时，这三步就是将B中的N-1个盘子借助A移动到C上，而这个操作，就是和N = 2时一模一样的。

++因此，本问题的流程就抽象成什么了？++

当解决N = 3时，可以用N = 2的策略 --> 当解决N个盘子的问题时，可以使用N - 1个盘子的策略。

++而我前面提到的递归的本质：++
解决大问题，可以使用相同类型的子问题

解决子问题 ，可以使用相同类型的子问题

++如何写递归的代码？？++

写递归的代码，需要三个部分：

1.挖掘出重复的子问题  --> 函数头

2.只关心某一个子问题在做什么  --> 函数体

3.递归的出口 --> 防止死递归

​

1.挖掘出重复的子问题 --> 函数头

根据前面提到的n = 3时如何转化子问题的内容，将流程抽象出来，就变成了：

当N = 3时，

第一步：将A中的N - 1个盘子借助C转移到B上 (重复的子问题)
第二步：将A中的最后一个盘子转移到C上
第三步: 将B中的N - 1个盘子借助A转移到C上 (重复的子问题)

我们根据重复的子问题设计出函数头。

从上面可以发现，有4个参数，分别是A，B，C和盘子的数量N

因此，函数头设计为：

2.只关心某一个子问题在做什么 --> 函数体

当N = 3时，

第一步：将A中的N - 1个盘子借助C转移到B上 (重复的子问题)
第二步：将A中的最后一个盘子转移到C上
第三步: 将B中的N - 1个盘子借助A转移到C上 (重复的子问题)

我们要从宏观去思考，不要思考dfs如何实现这个任务，把自己当成领导，相信dfs一定能完成你布置的任务。

给dfs布置要给任务，相信dfs一定能完成任务 。

3.递归的出口 --> 防止死递归

n = 1时，不需要借助其他盘子，直接将A上的盘子转移到C上

代码：

class Solution {
public:
    void hanota(vector<int>& a, vector<int>& b, vector<int>& c) {
        dfs(a, b, c, a.size());
    }

    void dfs(vector<int>& a, vector<int>& b, vector<int>& c, int n)
    {
        if (n == 1)
        {
            //直接将a中的盘子转移到c上
            c.push_back(a.back());
            a.pop_back();
            return;
        }

        //当有n个盘子的时候
        dfs(a, c, b, n - 1);   //将a中的n-1个盘子，借助c，转移到b上

        //将a中的最后一个盘子转移到c上
        c.push_back(a.back());
        a.pop_back();

        //将b中的n-1个盘子，借助a，转移到c上
        dfs(b, a, c, n - 1);
    }
};

总结

++1.什么问题能使用递归？++
解决大问题，可以使用相同类型的子问题

解决子问题 ，可以使用相同类型的子问题
++2.如果要写递归，需要哪几步？++

第一步：挖掘出相同的子问题  （关系到具体函数头的设计
第二步：只关心具体子问题做了什么  （关系到具体函数体怎么写，是一个宏观的过程）
第三步：找到递归的出口，防止死递归  （关系到如何跳出递归）