数据结构 之 常见的树

文章目录

• 树的概念
• • 术语（以二叉树举例）
• 二叉树
• • 遍历
  • 满二叉树
  • 完全二叉树
  • 二叉搜索树（有序二叉树）
• 哈夫曼树
• • 术语补充
  • WPL的比较（直接上图）
  • 哈夫曼树的构建过程
  • 哈夫曼编码
• [非平衡树 & 平衡树(avl树)](#非平衡树 & 平衡树(avl树))
• • 非平衡树转平衡树
  • m阶树：
  • • • 构建一个四阶树
  • 红黑树
  • B树
  • B+树
• 总结

树的概念

树是一种数据结构，其中以树和二叉树最为常用。它有n（n>0）个有限的节点组成一个具有层次的集合。

直观看来，树是以分支关系定义的层次结构。把它叫做"树"是因为它常看起来像一棵倒挂的树，也就是说它常是根朝上，而叶朝下的。

术语（以二叉树举例）

术语可以不用看晦涩的解释，直接结合图和下方的文字解释看就可以

• 结点：包含一个数据元素及若干指向其子树的分支

  A、B、C、D、E、F、G、H、I、J 均为节点

• 结点的度：一个结点拥有的子树的数目

  A、B、C、D 节点的度为2；

  G节点的度为1；

  E、F、H、I、J 节点的度为0

• 叶子或终端结点：度为0的结点（没有分支的节点）；

  E、F、H、I、J 节点为叶子节点

• 子结点（孩子节点）：结点的子树的根称为该结点的孩子结点或子结点；

• 父结点（双亲节点）：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的双亲结点或父结点；

• 兄弟结点：同一个双亲的孩子之间互称兄弟；

  A节点为B、C节点的父节点；B、C节点为A节点的子节点

  其中B为A的左子树（因为B在A的左分支），C为A的右子树

  B节点、C节点互为兄弟节点

• 有序树和无序树：树中结点的各子树从左到右是有次序的，不能互换，称该树为有序树，否则称为无序树；

二叉树

• 每个节点最多有两个子节点的树结构，‌通常被称为左子树和右子树。‌
• 二叉树的根节点可以为空
• 左/右子树可以为空（此时根节点不可以为空）

遍历

• 层级遍历：由上到下一层层的来遍历树的节点

  上图的层级遍历结果：A - B - C - D - E - F - G - H - I - J

• 前序遍历：按照【根-左-右】的顺序遍历树

  即优先遍历根节点，顺序遍历左右节点

  遍历结果：A - B - D - H - I - E - C - F - G - J

• 中序遍历：按照【左-根-右】的顺序遍历树

  即优先遍历左节点，然后是根节点，最后是右节点

  遍历结果：H - D - I - B - E - A - F - C - J - G

• 后序遍历：按照【左-右-根】的顺序遍历树

  即优先顺序遍历左右节点，最后遍历根节点

  遍历结果：H - I - D - E - B - F - J - G - C - A

满二叉树

• 除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点的二叉树
• 特点 1、满二叉树的深度为k，则它具有2^(k - 1)个节点。反之，如果一个二叉树的节点数是2^(k - 1)，那么它的深度为k

  2、在满二叉树中，除最后一层外，每一层的节点数都达到最大值。具体来说，第i层上的节点数为2*(i-1)个。

  3、满二叉树的叶子节点（即最后一层的节点）个数为2*(k-1)，其中k为树的深度

  4、在满二叉树中，除了叶子节点外，每个节点的度都为2，即每个非叶子节点都有两个子节点。
  

完全二叉树

• 一棵深度为k的有n个结点的二叉树，对树中的结点按从上至下、从左到右的顺序进行编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

二叉搜索树（有序二叉树）

• 是一个有序的树，搜索时复杂度为O(logN)
  戳这里 → 查看实现代码

哈夫曼树

术语补充

• 路径和路径长度：在一棵树中，从一个节点往下可以到达的后代节点之间的通路，称为路径；通路中分支的树木称为路径的长度。若规定根节点层数为1，则从根节点到第L层节点的长度为(L-1)
• 节点的权：若树中节点赋给一个有着某种意义的数值，则这个数值称为这个节点的权
• 带权路径长度：从根节点到该节点之间的路径长度与该节点权的乘积
• 树的带权的路径长度：所有叶子节点 的带权路径长度之和，记为WPL 权值越大的节点离根节点越近，WPL越小，最小的WPL树就是哈夫曼树

WPL的比较（直接上图）

哈夫曼树的构建过程

• 1、将待构建哈夫曼树的节点从小到大进行排序
• 2、取出节点权值最小的2个节点，组成一个新的二叉树
  （会出现多个节点值相等的情况，这时候选择哪个都可以，所以最后构建出来的哈夫曼树可能每个人都是不同的）
• 3、 新的二叉树根节点的权值就是2个节点的权值之和
• 4、将这课二叉树以根节点的权值大小再次排序
• 5、重复2、3、4，直到所有数据都被处理，得到哈夫曼树 上图中就是一个普通的二叉树构建出来的哈夫曼树，比较简单，这里就不再多说了

  （不懂的可以评论留言，我再来补充过程图）

哈夫曼编码

我们知道计算机存储是以0或者1来存储的，那么，
要求：对字符串"i love baoding and you"进行编码

• 普通编码，为什么不可以？

  上述字符串含空格一共是22个字符，每个字符8个字节，在计算机中存储起来就是22*8=176个字节
  假设我们自己设定每个字符所占空间小于8：i-01，空格-10，l-001，o-010，v-011...（0110001010011...）

  我们反编译的时候发现开始的01有，011也有，这时候就有冲突了~

  为了解决这种冲突，哈夫曼编码闪亮登场了

• 哈夫曼编码构建思路

  • 1、按照字符出现的次数构建一棵哈夫曼树，次数作为权值
  • 2、构建哈夫曼树
  • 3、根据哈夫曼树给各个字符进行编码 规定向左为0，向右为1，那么每个子树都需要遵循该规定

• 哈夫曼树构建结果
  

字符	空格	i	l	o	v	e	b	a	d	n	g	y	u
编码	110	1001	0010	101	0011	0100	0101	1110	1111	000	0111	0110	1000

• 可以发现任何一个字符的编码都不是其他节点的前缀
  （给想不明白的小伙伴提供个思路：我们这里要求的节点可都是叶子节点哦）

ascii编码总长度：228=176
WPL：4 3 + 24 + 1 4 + 33 + 1 4 + 14 + 1 4 + 24 + 2 4 + 23 + 1 4 + 14 + 1 4 = 79

压缩空间：176 - 79 = 97

节省：97/176 = 55.1%

非平衡树 & 平衡树(avl树)

• 它是一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树
  
• 平衡树也适用于二分查找，虽然两边并不是完全一样，但是对于海量数据来说，多一个少一个不影响时间复杂度。

非平衡树转平衡树

• 非平衡树转平衡树是当发现该节点不平衡了就开始转，不是树构建完毕了才会转的。
• 直接上图吧~
  
• 平衡二叉树对计算资源的损耗太大（因为发现不是平衡树需要转成平衡树）

m阶树：

• 有(m-1)个节点，可以分出m个子树

构建一个四阶树

根非叶子节点比较大小，找到对应的叶子节点，往叶子节点上有序放数据。如果放满，就向上挤中间数，原节点裂成两个新节点，依次类推

（注意两点：有序放 高度绝对一致）

红黑树

• 节点转红黑树的几种情况（可以结合下方图片）
  • 节点只有一个数据：该数据为黑节点
  • 节点有两个数据：有两种转换情况 高数据为黑，低数据为红，且红为黑的左子树；

    低数据为黑，高数据为红，且红为黑的右子树

  • 节点有三个数据：中间数据为黑，另两个数据为红，且按照大小分为左右子树
    
• 四阶B树转成红黑树
  
• 红黑树的特点
  • 1、每个节点不是红的就是黑的（红黑树嘛）
  • 2、根节点是黑色的（记住了，就是这么规定的）
  • 3、每个叶子几点都是黑色的，并且都是空节点
  • 4、如果一个节点是红色的，则它的子节点一定是黑色 如果有红色，只可能出现在第二层，下一个的开始只有黑色

    所以红色节点的子节点一定是黑色节点，黑色的节点的子节点不可能是红色节点也可能是黑色节点）

  • 5、从根节点到任意一个子节点的路径上包含了相同的黑色节点 从下往上的构建，且每个节点转换时有且仅有一个黑色节点）
  • 6、如果一条路径上有3个黑色节点，那么最长的路尽头：黑红黑红黑红黑，最短的路径：黑黑黑
  • 7、确保没有一条路径比其他路径长2倍
  • 8、时间复杂度为O(logN)
• 应用：内存中（不害怕查找）

B树

• 一个节点包含多个key和value值，构建时按照key排序，一个key-value构成 key表示对文件的编号；value表示页

• m阶B树，有（m-1）个节点，可以分m个叉
• 应用：在磁盘查找数据
  • 扩展 1、磁盘主要是用来存储数据的，原理是【电生磁】

    （磁头上有线圈，存数据时磁头根据电流方向的不同在磁盘上刻下不同的小颗粒 - N或者S极，也可以理解为0或1）

    2、磁盘由一个个的线圈来存储数据，存储的数据是由磁极N或S极来表示；

    3、磁盘读取数据很慢，大概时间是4~6毫秒（因为需要一圈圈的找到相应的磁道）

    4、磁盘读数据原理是【磁生电】

    （此时磁头线圈不带电。磁盘小颗粒周围有磁感应线，磁头划过时，线圈会感应到电流的变化，通过磁头上的感应电流的装置可以读取，然后通过导线（传递高低电压）给cpu）

    5、CPU计算一个数据大概是0.2纳秒

    6、为了缓解磁盘和CPU之间的差异，我们添加个中间层 - 内存

    7、内存，可以理解为是一个电容器，读取一个数据大概是20纳秒，但是没有稳定的电压，断电数据会消失。

    8、所有数据不能存入内存，只能存入磁盘。想让数据消失，需要磁盘消磁或者坏掉

    9、磁盘到内存之间传递数据是按页来传（如果还是按照总线数来传递01，那么内存添加就多此一举了）

    10、一页的大小大默认是4kb，可以通过x盘 - 右键 - 格式化 - 分配单元大小来设置

    11、不够4kb的单独占一页，超过4kb的多占几页

    12、所以读取数据时是磁盘按页给内存，内存交给cpu处理。这里的页就是B树中的value值

  • 优势 每个节点可以存好多值，高度低，查找的次数少

    通过编号可以很快的找到在哪页，根据页可以找到自己需要的数据

B+树

• 非叶子节点仅具有索引的作用（只存key值，不存value）
• B+树的所有叶子节点构成一个有序链表
• B+树想要把整棵树遍历，只需要从头开始把叶子节点遍历一遍就行

总结

• 一张图理解这些树
  （红黑树去掉颜色可以理解成有序的平衡树）