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算法的效率
如何衡量一个算法的好坏？看看下面的这个斐波那契数列
cpp
long long Fib(int N)
{
if (N < 3)
return 1;
return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}斐波那契数列的递归实现方式非常简洁，但简洁一定好吗？那该如何衡量其好与坏呢？
该递归代码效率极低。因为它会重复计算大量子问题。例如计算 Fib(5) 时：
-
Fib(4)和Fib(3)都要各自再递归展开，其中Fib(4)又会调用Fib(3)和Fib(2)...... -
导致同一个数值（如
Fib(3)）被多次重复计算。
这种算法的时间复杂度是 O(2^N) （指数级），N=50 时已经慢到无法接受。空间复杂度是 O(N)（递归调用栈深度）。
相比之下，用循环或动态规划实现斐波那契，时间复杂度仅为 O(N)，效率高得多。
简洁的不一定高效。衡量算法好坏，要分析其时间复杂度和空间复杂度，避免指数级爆炸的递归写法。
-
时间复杂度：运行时间随输入规模（N）的增长速度。比如递归斐波那契是 O(2^N)，太慢。
-
空间复杂度：占用的额外内存随 N 的增长速度。递归版本因调用栈深度为 O(N)，也较差。
算法的复杂度
算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般 是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度
**时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。**在计算 机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计 算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度
时间复杂度
概念
定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数 ，它定量描述了该算法的运行时间。一 个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知 道
但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个 分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法 的时间复杂度。
即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度
cpp
// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N; ++i)
{
for (int j = 0; j < N; ++j)
{
++count;
}
}
for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}Func1 执行的基本操作次数 ：
F(N)=N^2+2*N+10
N = 10 F(N) = 130
N = 100 F(N) = 10210
N = 1000 F(N) = 1002010
实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这 里我们使用大O的渐进表示法。
大O的渐进表示法
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：O(N^2)
N = 10 F(N) = 100
N = 100 F(N) = 10000
N = 1000 F(N) = 1000000
通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
常见时间复杂度计算举例
实例1
基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)
cpp
// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}实例2
基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)
cpp
// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++k)
{
++count;
}
for (int k = 0; k < N; ++k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}实例3
基本操作执行了10次，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1)
cpp
// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}实例4.计算strchr的时间复杂度
strchr 的标准实现逻辑 ------即在一个字符串中顺序查找某个字符，最好情况是第一个字符就匹配（1次操作），最坏情况是遍历到末尾或找不到（N 次操作，N 为字符串长度）。时间复杂度一般看最坏。因此时间复杂度为 O(N)。
cpp
// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character );实例5.BubbleSort的时间复杂度
基本操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N+1)/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最 坏，时间复杂度为 O(N^2)：
最好情况 （数组已经有序）：第一趟比较 N-1 次，发现没有交换，exchange 保持为 0，直接 break 退出循环。执行次数 = N-1，即 O(N)。
最坏情况 （数组完全逆序）：每一趟都要比较和交换。比较次数：(N-1) + (N-2) + ... + 1 = N(N-1)/2，即 N(N-1)/2 ，忽略常数和低阶项后为 O(N²)。
时间复杂度一般看最坏 ，所以冒泡排序的时间复杂度为 O(N²)。
cpp
// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i - 1] > a[i])
{
Swap(&a[i - 1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}实例6.BinarySearch的时间复杂度
基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN) ps：logN在算法分析中表示是底 数为2，对数为N。有些地方会写成lgN：
二分查找是在一个 有序数组 里找一个数 x。过程：
先看数组最中间的数 a[mid]
如果它等于 x，就找到了
如果 x 比它小，就只去 左边一半 继续找
如果 x 比它大，就只去 右边一半 继续找
重复以上步骤，直到找到或者区间缩小到没有数字为止
最好情况 ：
如果你运气爆棚，第一次就猜中了中间那个数。那只需要 1 次 比较就结束了。所以最好时间复杂度是 O(1)。
最坏情况 ：
要找的数在数组最边上，或者根本不在数组里。这时候你会一直缩小查找范围，直到范围变成空。
每次查找后，剩下的数字个数大约是 原来的一半：
刚开始有 n 个数字
第一次比较后，剩 n/2 个
第二次比较后，剩 n/4 个
第三次比较后，剩 n/8 个
...
直到最后剩下 1 个数字，再查一次就确定有没有。
问题来了：从 n 变成 1，你需要除以多少次 2？
这就是数学上的 对数。
假设 n = 16
16 → 8 → 4 → 2 → 1
除了 4 次 2，就到 1 了。
这 4 就是 log₂(16) = 4。
更一般地，需要比较的次数 ≈ log₂(n)。
所以最坏时间复杂度是 O(log N)（这里 log N 默认以 2 为底，但底数不重要，因为常数可以忽略）。
cpp
// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n - 1;
// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
while (begin <= end)
{
//防止 (begin+end)/2 直接加可能会溢出（当 begin 和 end 都很大时）。
//>> 1 就是除以 2，位运算更快。不影响时间复杂度理解。
int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
if (a[mid] < x)
begin = mid + 1;
else if (a[mid] > x)
end = mid - 1;
else
return mid;
}
return -1;
}实例7.阶乘递归Fac的时间复杂度
基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)。
cpp
// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if (0 == N)
return 1;
return Fac(N - 1) * N;
}实例8.斐波那契递归Fib的时间复杂度
基本操作递归了2^N次，时间复杂度为O(2^N)：
递归函数：
如果 N < 3（也就是 N = 1 或 2），直接返回 1。
否则，它会调用自己两次：Fib(N-1) 和 Fib(N-2)，然后把两个结果相加。例如：Fib(5) 会去问 Fib(4) 和 Fib(3)，而每个又会继续往下拆，直到 Fib(1) 或 Fib(2) 为止。
为什么会很慢？因为 同一个中间结果会被重复计算无数次 。我们拿 Fib(5) 举例：
Fib(3) 被计算了两次。Fib(2) 被计算了三次。Fib(1) 被计算了两次。随着 N 增大，重复计算量 爆炸式增长。
每次函数调用，只要不是 N<3 的终止情况，它都会做一次加法（Fib(N-1) + Fib(N-2)）。
我们近似数一数 函数调用的总次数。
第一层：调用 1 次（Fib(N)）
第二层：调用 2 次（Fib(N-1)、Fib(N-2)）
第三层：调用 4 次（Fib(N-2) 的两个子调用等）
第四层：调用 8 次
...
直到叶子节点（N=1 或 2）为止。
这像一个 满二叉树 ，大约有 2^N 量级的节点（严格来说，斐波那契递归树是接近 2^N，但不是精确满的，但大 O 只看数量级）
所以：基本操作（加法 + 递归调用）的次数 ≈ 2^N 级别。
最好情况：N 很小（比如 1 或 2），直接返回，O(1)。
最坏情况（也是我们要看的一般情况）：N 较大时，递归调用次数 ≈ 2^N，所以 时间复杂度 = O(2^N)。
cpp
// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
if (N < 3)
return 1;
return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}空间复杂度
空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。 空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了 ，因 此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。
实例1：计算BubbleSort的空间复杂度
使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)：
额外开辟的变量只有：
end（循环控制）
exchange（标记是否发生交换）
i（内层循环控制）
这些变量数量固定 ，不会随着输入规模 n 变大而增多。无论 n 是 10 还是 10 万，额外内存始终是 几个字节 。因此：使用了常数个额外空间 → 空间复杂度 O(1)。
cpp
// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i - 1] > a[i])
{
Swap(&a[i - 1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}实例2：计算Fibonacci的空间复杂度
动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N):
空间复杂度分析：
动态开辟了一个长度为 n+1 的 long long 数组
数组占用的空间大小随输入 n 线性增长
除此之外，只用了常数个额外变量（i 等）
因此空间复杂度为 O(N)
cpp
// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
if (n == 0)
return NULL;
long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i)
{
fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
}
return fibArray;
}实例3：计算阶乘递归Fac的空间复杂度
cpp
long long Fac(size_t N)
{
if (N == 0)
return 1;
return Fac(N - 1) * N;
}递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)
这里顺便理一下什么是栈帧：
每个函数被调用时，计算机需要在内存中（栈区）记录一些信息：
函数的参数（比如 N 的值）
函数返回后要去哪里继续执行（返回地址）
函数的局部变量（这里没有）
这块记录信息的内存区域，就叫做"栈帧"。
可以把栈帧想象成一张"任务纸条"：
调用函数时，写一张纸条压在一摞纸条的最上面。
函数返回时，把最上面的纸条扔掉，回到上一张纸条记录的位置。
当你调用 Fac(3) 时，它会这样执行：
Fac(3)调用Fac(2)，等待Fac(2)的结果
Fac(2)调用Fac(1)，等待Fac(1)的结果
Fac(1)调用Fac(0)，等待Fac(0)的结果
Fac(0)返回 1然后
Fac(1)用 1 * 1 = 1 返回
Fac(2)用 1 * 2 = 2 返回
Fac(3)用 2 * 3 = 6 返回
调用 Fac(3) 时，栈帧的变化如下：
| 时刻 | 栈中的栈帧（从上到下） | 深度 |
|---|---|---|
| 刚开始 | 空 | 0 |
| 调用 Fac(3) | Fac(3) | 1 |
| Fac(3) 调用 Fac(2) | Fac(2) → Fac(3) | 2 |
| Fac(2) 调用 Fac(1) | Fac(1) → Fac(2) → Fac(3) | 3 |
| Fac(1) 调用 Fac(0) | Fac(0) → Fac(1) → Fac(2) → Fac(3) | 4 |
| Fac(0) 返回 | 删除 Fac(0) | 3 |
| Fac(1) 返回 | 删除 Fac(1) | 2 |
| Fac(2) 返回 | 删除 Fac(2) | 1 |
| Fac(3) 返回 | 空 | 0 |
关键点 ：在 最深 的时刻（Fac(0) 刚被调用但还没返回），栈里有 4 个栈帧（N=3 时深度为 4）。
-
当参数为 N 时，递归会一直调用到 N=0
-
所以最多同时存在的栈帧个数 = N + 1（从 N 到 0 一共 N+1 层）
每一层栈帧占用的空间是 常数 （因为只存参数 N 和返回地址等固定大小的信息）。
那么总占用的额外空间 = (N+1) × 常数 ≈ N × 常数 。在算法分析中，常数忽略，只关心规模 N，所以空间复杂度为 O(N)。
常见复杂度对比
一般算法常见的复杂度如下：
| 表达式 | 大O表示 | 阶名称 |
|---|---|---|
| 5201314 | O(1) | 常数阶 |
| 3n + 4 | O(n) | 线性阶 |
| 3n² + 4n + 5 | O(n²) | 平方阶 |
| 3log₂ n + 4 | O(log n) | 对数阶 |
| 2n + 3n log₂ n + 14 | O(n log n) | n log n 阶 |
| n³ + 2n² + 4n + 6 | O(n³) | 立方阶 |
| 2ⁿ | O(2ⁿ) | 指数阶 |
