代码随想录算法训练营第43天:动态规划part10:子序列问题

300.最长递增子序列

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给你一个整数数组 nums ,找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列,删除(或不删除)数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如,[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1:

  • 输入:nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
  • 输出:4
  • 解释:最长递增子序列是 [2,3,7,101],因此长度为 4 。

子序列问题分析:

dp[i]的定义

dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度

为什么一定表示 "以nums[i]结尾的最长递增子序" ,因为我们在 做 递增比较的时候,如果比较 nums[j] 和 nums[i] 的大小,那么两个递增子序列一定分别以nums[j]为结尾 和 nums[i]为结尾, 要不然这个比较就没有意义了,不是尾部元素的比较那么 如何算递增呢。

状态转移方程

位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。

所以:if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较,而是我们要取dp[j] + 1的最大值。

dp[i]的初始化

每一个i,对应的dp[i](即最长递增子序列)起始大小至少都是1.

确定遍历顺序

dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来,那么遍历i一定是从前向后遍历。

j其实就是遍历0到i-1,那么是从前到后,还是从后到前遍历都无所谓,只要吧 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。 所以默认习惯 从前向后遍历。

注意**:概括来说:不连续递增子序列的跟前0-i 个状态有关,连续递增的子序列只跟前一个状态有关------这也是考虑如何构建动态规划算法的方法

  • 时间复杂度: O(n^2)
  • 空间复杂度: O(n)
cpp 复制代码
int lengthOfLIS(int* nums, int numsSize) {
   int dp[numsSize];
   dp[0]=1;
   int max_ans=1;//结果不一定在最后一个位置

   for (int i=1;i<numsSize;i++){
        dp[i]=1;//为什么要初始化成1:包含自己必然是最大的子序列,尤其是涉及到fmax,不能随便初始化的
        for (int j=0;j<i;j++){
            if(nums[j]<nums[i]) dp[i]=fmax(dp[i],dp[j]+1);
        }
        printf("%d",dp[i]);
        max_ans=fmax(max_ans, dp[i]);
    }
    return max_ans;
}

674. 最长连续递增序列

力扣题目链接(opens new window)

给定一个未经排序的整数数组,找到最长且 连续递增的子序列,并返回该序列的长度。

连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r(l < r)确定,如果对于每个 l <= i < r,都有 nums[i] < nums[i + 1] ,那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。

示例 1:

  • 输入:nums = [1,3,5,4,7]
  • 输出:3
  • 解释:最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的,因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。

示例 2:

  • 输入:nums = [2,2,2,2,2]
  • 输出:1
  • 解释:最长连续递增序列是 [2], 长度为1。

可以不用动态规划直接做:贪心 o(n) o(1)复杂度

cpp 复制代码
int findLengthOfLCIS(int* nums, int numsSize) {
    int max_ans=1;
    int this=1;
    for (int i=1;i<numsSize;i++){
        if(nums[i]>nums[i-1]) {
            this++;
            max_ans=fmax(this, max_ans);
        }        
        else {
            this=1;
        }
    }
    return max_ans;
}

感觉动规做法过于复杂:

cpp 复制代码
int findLengthOfLCIS(int* nums, int numsSize) {
    int max_ans=1;
    int dp[numsSize];
    
    dp[0]=1;
    for (int i=1;i<numsSize;i++){
        dp[i]=1;
        if(nums[i]>nums[i-1])  dp[i]=dp[i-1]+1;
     
        max_ans=fmax(max_ans, dp[i]);
    }
    return max_ans;
}

718. 最长重复子数组

力扣题目链接(opens new window)

给两个整数数组 A 和 B ,返回两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度。

示例:

输入:

  • A: [1,2,3,2,1]
  • B: [3,2,1,4,7]
  • 输出:3
  • 解释:长度最长的公共子数组是 [3, 2, 1] 。

提示:

  • 1 <= len(A), len(B) <= 1000
  • 0 <= A[i], B[i] < 100

分析:

dp【i】【j】:是以i位置、j位置为结尾的匹配的情况------所以只和左上位置元素相关

之前考虑的时候,考虑成i位置、j位置以前的匹配的最大值情况,发现没有办法从上一个状态推导到这个状态------优先直接出结果,如果不能出结果,可以退而求其次,最大值的任务落在max_ans

上,优先考虑本次状态的情况

cpp 复制代码
int findLength(int* nums1, int nums1Size, int* nums2, int nums2Size) {
    int dp[nums1Size][nums2Size];
    memset(dp,0, sizeof(dp));
    if(nums1[0]==nums2[0]) dp[0][0]=1;
    int max_ans=0;

    for (int i=1;i<nums1Size;i++){
        if(nums2[0]==nums1[i]) dp[i][0]=1;
        max_ans=fmax(max_ans, dp[i][0]);
    }

    for (int j=1;j<nums2Size;j++){
        if(nums1[0]==nums2[j]) dp[0][j]=1;
        max_ans=fmax(max_ans, dp[0][j]);
        
    }

    for (int i=1;i<nums1Size;i++){
        for (int j=1;j<nums2Size;j++){
            if(nums1[i]==nums2[j]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
            max_ans=fmax(max_ans, dp[i][j]);
        }
    }


    return max_ans;
    
}
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