【C++ 第十四章】红黑树

时差freebright2024-08-21 13:57

前言：

学习本章，需要先学习 AVL树的 旋转，因为 红黑树也需要旋转调整来平衡，下面讲解将不赘述 旋转的原理和操作

红黑树的旋转 和 AVL树的旋转 唯一不同的是：旋转的判断使用逻辑

AVL树的旋转 可以通过 平衡因子 判断使用哪一种旋转

红黑树的旋转 则 直接通过 判断 爷爷 grandfather、父亲 parent、自己 cur 三种节点之间的位置关系 来 判断使用哪一种 旋转

（其实原理都一样，只不过AVL树有了平衡因子，可以直接借助平衡因子判断，其核心还是爷父子三者位置关系）

🦖1. 红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是 Red或 Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路 径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

（即 最长路径 长度一定 小于等于 最短路径的*2 ）

🦖2. 红黑树的 4 条性质（决定代码实现逻辑）

（1）二叉搜索树的结构

（2）根和叶子(NULL)都是黑色

（3）不存在连续的两个红色结点

（4）任一结点到叶所有路径黑结点数量相同

四条性质可以总结成 四条口诀

左根右、根叶黑、不红红、黑路同

🦖⭐（1）左根右

即 左根右 的 二叉搜索树结构

🦖⭐（2）根叶黑

根和叶子(NULL)都是黑色

划蓝色虚线的节点 10即为 根节点

划蓝色虚线的 长方形节点，空节点 NULL

这两种节点都必须是 黑色！

🦖⭐（3）不红红

不存在连续的两个红色结点

下图中 节点 7 和 节点 5 两个连续红节点的情况不合法，需要进一步调整（后序讲解）

🦖⭐（4）黑路同

任一结点到叶所有路径黑结点数量相同

下图中，每条路径的 黑色节点个数 都是 3 ，这就是合法

注意：一条路径的终点一定是 NULL 空节点！！！

🦖3. 为什么说 "红黑树的最长路径不会超过最短路径的两倍 "

因为所有路径黑色节点的数量必须相同（黑路同），同时 红色节点不能连续出现（不红红）

因此 最长路径一定是 一黑一红 的排列

则 最长的那条路径：即使下面再加一个 红色节点，也只是刚好 是最短路径的两倍，而绝对不会超过 最左边的最短路径

🦖4. 红黑树节点 定义

cpp 复制代码 
// 设置颜色枚举值
enum Colour {
	RED,
	BLACK
};

template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;

	pair<K, V> _data;  
	Node* _left;
	Node* _right;

	Node* _parent;
	Colour _col;

	RBTreeNode(const T& data)
		:_data(data)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
	{}
};

🦖5. 红黑树的插入

🦖5.1 插入的节点 默认是 红色

为什么？看下面例子

🦖⭐当 插入的节点 7 为 黑色时

黑色节点 的 插入，必然会违反 "黑路同" 的性质，因此要对其他节点都进行调整（其他节点都要再加一个黑色节点）

⭐当 插入的节点 7 为 红色 ，且 该节点插在 黑色节点 8 下面时

可以发现，插入一个 红色节点并没有影响 任何一个 红黑树的性质，即不用做出调整

⭐当 插入的节点 7 为 红色 ，且 该节点插在 红色节点 8 下面时

若 在 红色节点后面插入一个 红色节点，会违反 "不红红" 的性质，则需要调整

综上所述，插入黑色节点就一定需要调整，插入红色节点却可能不需要调整

因此，插入红色节点的性价比最高

🦖5.2 插入节点后，若性质被破坏，分三种情况调整

（注意：是性质被破坏了，才需要调整，没被破坏不需要调整）

🦖**（1）插入结点是根结点：**

直接将 节点变黑就行

如果非根节点：看叔叔颜色

🦖**（2）插入结点的叔叔 uncle 是红色**：

该情况处理步骤：

1、将叔父爷变色（即除了自己 cur 以外的三个节点）

2、再将 cur 指向 爷爷

（然后继续对这个 cur 进行这 红黑树 4条性质的判定，看是否违反，即 从 cur 开始 继续向上调整）

🦖**（3）插入结点的叔叔 uncle 是黑色**：旋转 + 变色

注意：黑色节点也可以是 NULL 空节点

直接通过 判断 爷爷 grandfather、父亲 parent、自己 cur 三种节点之间的位置关系 来 判断使用哪一种 旋转

因为 单旋 LL型 和 RR 型的原理一致，双旋 LR 型 和 RL 型的原理一致

下面我就以 LL 型 和 LR 型举例讲解旋转的步骤

🦖LL 型：

1、以爷爷为旋转点，向右旋转

2、变色：爷变红，父变黑

🦖LR 型

1、先 以 father 为旋转点 旋转，再以 爷爷 为旋转点 旋转

2、爷变红，cur 变黑

🦖小结：都是固定步骤

单旋 LL型 和 RR 型

旋转：以爷爷为旋转点 左旋 或 右旋（父亲为 旋转中心轴）

变色：爷变红，父变黑

双旋 LR 型 和 RL 型

旋转：先 旋转 父亲 father，再 旋转 爷爷

变色：爷变红，cur 变黑

🦖5.3 插入节点中 旋转变色逻辑 代码讲解

根据上面的讲解，可以发现，决定红黑树 旋转 or 变色 的是 爷父子的位置关系 和 叔叔的颜色

因此代码逻辑 也要 以这两点为中心 设计

🦖伪代码：

因为插入节点是 红色，父亲为空时，违反 "不红红" 的性质，则进入循环执行调整

while ( 父亲不为空 同时 父亲的颜色为红色 )

{

if ( 父亲是 爷爷 的左 孩子 )

if ( 叔叔是 红色 )

else if ( 叔叔是 黑色 )

if ( cur 是 父亲的左 )

else if ( cur 是 父亲的 右)

else if ( 父亲是 爷爷 的 右 孩子 )

if ( 叔叔是红色 )

else if ( 叔叔是 黑色 )

if ( cur 是 父亲的 左)

else if ( cur 是 父亲的 右 )

}

🦖实际代码：

cpp 复制代码 
// 变色调整：
while (parent && parent->_col == RED) {

	Node* Grandfather = parent->_parent;
	/*
			   g
			p     u
	*/
	// 父亲是  爷爷 的左孩子
	if (parent == Grandfather->_left) {
		Node* Uncle = Grandfather->_right;

		// 叔叔是 红色：三人变色，cur指爷
		if (Uncle && Uncle->_col == RED) {
			parent->_col = BLACK;
			Uncle->_col = BLACK;
			Grandfather->_col = RED;

			cur = Grandfather;
			parent = cur->_parent;
		}
		// 叔叔是 黑色：旋转后变色
		else if (Uncle == nullptr || Uncle->_col == BLACK) {
			// 看 cur 的位置：决定单旋 or 双旋

			if (cur == parent->_left) {
				/*  右单旋 + 变色
							 g
						 p       u
					 c
				*/
				rotateLL(Grandfather);
				// 爷变红，父变黑
				Grandfather->_col = RED;
				parent->_col = BLACK;
			}
			else if (cur == parent->_right) {
				/*  双旋（先左旋后右旋） + 变色
							  g
						 p        u
							c
				*/
				rotateRR(parent);  // p 先 左旋
				rotateLL(Grandfather);  //  g 再右旋
				// 爷变红，cur 变黑
				Grandfather->_col = RED;
				cur->_col = BLACK;
			}
			break;  // 旋转后，退出循环
		}
	}

	// 父亲是  爷爷 的右孩子
	else if (parent == Grandfather->_right) {
		Node* Uncle = Grandfather->_left;

		// 叔叔是 红色：三人变色，cur指爷
		if (Uncle && Uncle->_col == RED) {
			parent->_col = BLACK;
			Uncle->_col = BLACK;
			Grandfather->_col = RED;

			cur = Grandfather;
			parent = cur->_parent;
		}
		// 叔叔是 黑色：旋转后变色
		else if (Uncle == nullptr || Uncle->_col == BLACK) {
			// 看 cur 的位置：决定单旋 or 双旋

			if (cur == parent->_right) {
				/*  左单旋 + 变色
							 g
						 u       p
									  c
				*/
				rotateRR(Grandfather);
				// 爷变红，父变黑
				Grandfather->_col = RED;
				parent->_col = BLACK;
			}
			else if (cur == parent->_left) {
				/*  双旋（先右旋后左旋） + 变色
							   g
						  u         p
								  c
				*/
				rotateLL(parent);  // p 先 右旋
				rotateRR(Grandfather);  //  g 再左旋
				// 爷变红，cur 变黑
				Grandfather->_col = RED;
				cur->_col = BLACK;
			}
			break;  // 旋转后，退出循环
		}
	}
}

// 根节点强制变色
_root->_col = BLACK;

🦖5.4 insert 函数 总代码

cpp 复制代码 
// 插入
bool insert(const pair<K, V>& kv) {
	if (_root == nullptr) {
		_root = new Node(kv);
		_root->_col = BLACK; // 根节点一定是黑的
		return true;
	}


	Node* cur = _root;
	Node* parent = cur;
	while (cur) {
		if (cur->_kv.first < kv.first) {
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first) {
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else return false;
	}


	// 在 cur 的位置插入该节点
	cur = new Node(kv);
	cur->_col = RED;  // 新增节点给 红的


	// 父连子，子连父

	if (parent->_kv.first > kv.first) parent->_left = cur;
	else  parent->_right = cur;
	cur->_parent = parent;


	// 变色调整：
	while (parent && parent->_col == RED) {

		Node* Grandfather = parent->_parent;
		/*
					g
				p     u
		*/
		// 父亲是  爷爷 的左孩子
		if (parent == Grandfather->_left) {
			Node* Uncle = Grandfather->_right;

			// 叔叔是 红色：三人变色，cur指爷
			if (Uncle && Uncle->_col == RED) {
				parent->_col = BLACK;
				Uncle->_col = BLACK;
				Grandfather->_col = RED;

				cur = Grandfather;
				parent = cur->_parent;
			}
			// 叔叔是 黑色：旋转后变色
			else if (Uncle == nullptr || Uncle->_col == BLACK) {
				// 看 cur 的位置：决定单旋 or 双旋

				if (cur == parent->_left) {
					/*  右单旋 + 变色
								 g
							 p       u
						 c
					*/
					rotateLL(Grandfather);
					// 爷变红，父变黑
					Grandfather->_col = RED;
					parent->_col = BLACK;
				}
				else if (cur == parent->_right) {
					/*  双旋（先左旋后右旋） + 变色
								  g
							 p        u
								c
					*/
					rotateRR(parent);  // p 先 左旋
					rotateLL(Grandfather);  //  g 再右旋
					// 爷变红，cur 变黑
					Grandfather->_col = RED;
					cur->_col = BLACK;
				}
				break;
			}
		}

		// 父亲是  爷爷 的右孩子
		else if (parent == Grandfather->_right) {
			Node* Uncle = Grandfather->_left;

			// 叔叔是 红色：三人变色，cur指爷
			if (Uncle && Uncle->_col == RED) {
				parent->_col = BLACK;
				Uncle->_col = BLACK;
				Grandfather->_col = RED;

				cur = Grandfather;
				parent = cur->_parent;
			}
			// 叔叔是 黑色：旋转后变色
			else if (Uncle == nullptr || Uncle->_col == BLACK) {
				// 看 cur 的位置：决定单旋 or 双旋

				if (cur == parent->_right) {
					/*  左单旋 + 变色
								 g
							 u       p
										  c
					*/
					rotateRR(Grandfather);
					// 爷变红，父变黑
					Grandfather->_col = RED;
					parent->_col = BLACK;
				}
				else if (cur == parent->_left) {
					/*  双旋（先右旋后左旋） + 变色
								   g
							  u         p
									  c
					*/
					rotateLL(parent);  // p 先 右旋
					rotateRR(Grandfather);  //  g 再左旋
					// 爷变红，cur 变黑
					Grandfather->_col = RED;
					cur->_col = BLACK;
				}
				break;
			}
		}
	}

	// 修改一：根节点强制变色
	_root->_col = BLACK;

	return false;
}

🦖6. 红黑树的删除

红黑树的删除本节不做讲解，有兴趣的同学可参考：《算法导论》或者《STL源码剖析》 http://www.cnblogs.com/fornever/archive/2011/12/02/2270692.html

🦖7. 红黑树与AVL树的比较

之前讲到的AVL树，它是左右子树的高度相差不会超过一，可以发现 AVL树 对于平衡的要求会更加严格 ，因此 AVL树在树高上面要比红黑树控制的更加平衡，查询节点的时间复杂度为 logN

因为红黑树的最长路径 可以为最短路径的2倍，因此 查询节点的时间复杂度为 log 2*N

所以在查询上面红黑树要略逊于 AVL树 ，当然在时间复杂度上都是同一个数量级，都是O(logN)，差距不会太大

恰恰因为 AVL树 要严格的控制树的平衡，因此 插入删除 操作后，旋转的次数较多

而 红黑树 插入删除 操作中，旋转的次数较少

所以相比之下， AVL树 在查询上边呢更高效；红黑树 在插入删除上边更高效

在实际应用当中呢，红黑树用的更广泛一些，比如说 C++的STL 当中的 map 和 set 都是基于红黑树实现的（下一个章节会讲解 【map 和 set 对红黑叔的封装】）

Java 库 、 linux内核 、其他一些库 都有使用 红黑树

🦖8. ⭐红黑树的完整代码

cpp 复制代码 
#pragma once
#include<iostream>
#include<vector>
#include<assert.h>
using namespace std;

///

// 设置颜色枚举值
enum Colour {
	RED,
	BLACK
};

template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;

	pair<K, V> _kv;
	Node* _left;
	Node* _right;

	Node* _parent;
	Colour _col;

	RBTreeNode(const pair<K, V>& data)
		:_kv(data)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
	{}
};



template<class K, class V>
class RBTree
{
public:
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;


	RBTree() = default;

	~RBTree() {
		destory(_root);
		_root = nullptr;
	}


	// 查找
	Node* find(const K& key) {
		Node* cur = _root;
		while (cur) {
			if (key > cur->_kv.first) {
				cur = cur->_right;
			}
			else if (key < cur->_kv.first) {
				cur = cur->_left;
			}
			else {
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}

	// 插入
	bool insert(const pair<K, V>& kv) {
		if (_root == nullptr) {
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK; // 根节点一定是黑的
			return true;
		}


		Node* cur = _root;
		Node* parent = cur;
		while (cur) {
			if (cur->_kv.first < kv.first) {
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first) {
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else return false;
		}


		// 在 cur 的位置插入该节点
		cur = new Node(kv);
		cur->_col = RED;  // 新增节点给 红的


		// 父连子，子连父

		if (parent->_kv.first > kv.first) parent->_left = cur;
		else  parent->_right = cur;
		cur->_parent = parent;


		// 变色调整：
		while (parent && parent->_col == RED) {

			Node* Grandfather = parent->_parent;
			/*
						g
					p     u
			*/
			// 父亲是  爷爷 的左孩子
			if (parent == Grandfather->_left) {
				Node* Uncle = Grandfather->_right;

				// 叔叔是 红色：三人变色，cur指爷
				if (Uncle && Uncle->_col == RED) {
					parent->_col = BLACK;
					Uncle->_col = BLACK;
					Grandfather->_col = RED;

					cur = Grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				// 叔叔是 黑色：旋转后变色
				else if (Uncle == nullptr || Uncle->_col == BLACK) {
					// 看 cur 的位置：决定单旋 or 双旋

					if (cur == parent->_left) {
						/*  右单旋 + 变色
									 g
								 p       u
							 c
						*/
						rotateLL(Grandfather);
						// 爷变红，父变黑
						Grandfather->_col = RED;
						parent->_col = BLACK;
					}
					else if (cur == parent->_right) {
						/*  双旋（先左旋后右旋） + 变色
									  g
								 p        u
									c
						*/
						rotateRR(parent);  // p 先 左旋
						rotateLL(Grandfather);  //  g 再右旋
						// 爷变红，cur 变黑
						Grandfather->_col = RED;
						cur->_col = BLACK;
					}
					break;
				}
			}

			// 父亲是  爷爷 的右孩子
			else if (parent == Grandfather->_right) {
				Node* Uncle = Grandfather->_left;

				// 叔叔是 红色：三人变色，cur指爷
				if (Uncle && Uncle->_col == RED) {
					parent->_col = BLACK;
					Uncle->_col = BLACK;
					Grandfather->_col = RED;

					cur = Grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				// 叔叔是 黑色：旋转后变色
				else if (Uncle == nullptr || Uncle->_col == BLACK) {
					// 看 cur 的位置：决定单旋 or 双旋

					if (cur == parent->_right) {
						/*  左单旋 + 变色
									 g
								 u       p
											  c
						*/
						rotateRR(Grandfather);
						// 爷变红，父变黑
						Grandfather->_col = RED;
						parent->_col = BLACK;
					}
					else if (cur == parent->_left) {
						/*  双旋（先右旋后左旋） + 变色
									   g
								  u         p
										  c
						*/
						rotateLL(parent);  // p 先 右旋
						rotateRR(Grandfather);  //  g 再左旋
						// 爷变红，cur 变黑
						Grandfather->_col = RED;
						cur->_col = BLACK;
					}
					break;
				}
			}
		}

		// 修改一：根节点强制变色
		_root->_col = BLACK;

		return false;
	}

	// RR型：左单旋
	void rotateRR(Node* parent) {
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		Node* parentParent = parent->_parent;

		// 1、subRL变成parent的右孩子
		parent->_right = subRL;
		// subRL 是有可能为 空的
		if (subRL) {
			subRL->_parent = parent;
		}

		// 2、parent变成subR的左孩子
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;


		// 3、subR变成当前子树的根
		// parentParent 是指 刚开始的 parent 的父亲：若 parent 是 _root 则 parentParent 为空，否则不为空，则该树就是子树
		if (parentParent) {
			if (parent == parentParent->_right)
				parentParent->_right = subR;
			else parentParent->_left = subR;

			subR->_parent = parentParent;
		}
		// 如果 parentParent == nullptr：说明 parent 是该树的 _root，_root 的 parent 是空
		else {
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
	}

	// LL型：右单旋
	void rotateLL(Node* parent) {
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		Node* parentParent = parent->_parent;

		// 1、subLR变成parent的左孩子
		parent->_left = subLR;
		// subRL 是有可能为 空的
		if (subLR) {
			subLR->_parent = parent;
		}



		// 2、parent变成subL的右孩子
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;


		// 3、subL 变成当前子树的根
		// parentParent 是指 刚开始的 parent 的父亲：若 parent 是 _root 则 parentParent 为空，否则不为空，则该树就是子树
		if (parentParent) {
			if (parent == parentParent->_right)
				parentParent->_right = subL;
			else parentParent->_left = subL;

			subL->_parent = parentParent;
		}
		// 如果 parentParent == nullptr：说明 parent 是该树的 _root，_root 的 parent 是空
		else {
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
	}

	// LR 型：subL 先 左旋， parent 右旋
	void rotateLR(Node* parent) {
		rotateRR(parent->_left);
		rotateLL(parent);
	}

	// RL 型：subR 先 右旋， parent 左旋
	void rotateRL(Node* parent) {
		rotateLL(parent->_right);
		rotateRR(parent);
	}

	// 中序遍历
	void InOrder() {
		_InOrder(_root);
		cout << '\n';
	}


	// 获取该树的高度
	int Height() {
		return _Height(_root);
	}

	// 获取节点个数
	int Size() {
		return _Size(_root);
	}
	 
	// 判断是否是 红黑树
	bool IsValidRBTree() {
		if (_root == nullptr) return false;
		else if (_root && _root->_col == RED) return false;

		// 遍历一条路，记录一条路上一共固定有多少个黑色节点
		int cnt = 0;
		Node* cur = _root;
		while (cur) {
			if (cur->_col == BLACK) cnt++;
			cur = cur->_left;
		}
		return _IsValidRBTree(_root, 0, cnt);
	}

private:

	//  判断是否是 红黑树
	bool _IsValidRBTree(Node* pRoot, size_t k, const size_t blackCount)
	{
		// 1、看根节点是否是 黑的
		// 2、看每条路径的 黑色节点数量是否相同
		// 3、检查是否有连续的红节点：遇到一个红节点就判断其父亲是否是 红的


		//走到null之后，判断 k 和 blackCount 是否相等：即一条路径上的 黑色节点数量是否为固定值
		if (pRoot == nullptr)
		{
			if (k != blackCount)
			{
				cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;
				return false;
			}
			return true;
		}

		// 统计黑色节点的个数
		if (pRoot->_col == BLACK)
			k++;

		// 检测当前节点与其双亲是否都为红色
		Node* pParent = pRoot->_parent;
		if (pParent && pParent->_col == RED && pRoot->_col == RED)
		{
			cout << "违反性质三：没有连在一起的红色节点" << endl;
			return false;
		}
		return _IsValidRBTree(pRoot->_left, k, blackCount) && _IsValidRBTree(pRoot->_right, k, blackCount);
	}


	int _Size(Node* pRoot) {
		if (pRoot == nullptr) return 0;
		//if (pRoot->_left == nullptr && pRoot->_right == nullptr) return 1;

		return 1 + _Size(pRoot->_left) + _Size(pRoot->_right);
	}
	int _Height(Node* pRoot) {
		if (pRoot == nullptr)
			return 0;

		return 1 + max(_Height(pRoot->_left), _Height(pRoot->_right));
	}


	// 销毁一棵树：后序遍历
	void destory(Node* root) {
		if (root == nullptr) {
			return;
		}

		destory(root->_left);
		destory(root->_right);
		delete root;
	}


	void _InOrder(const Node* root) {
		if (root == nullptr) {
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << (root->_kv).first << " : " << (root->_kv).second << '\n';
		_InOrder(root->_right);
	}

	Node* _root = nullptr;
};

参考文献和资料

B站 up ：蓝不过海呀

【红黑树 - 定义, 插入, 构建】https://www.bilibili.com/video/BV1Xm421x7Lg?vd_source=bea8fdb0eb9c0c7d500ffd191a292977

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