方差：理解数据的离散程度
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- 方差：理解数据的离散程度
引言
方差是统计学和数据分析中的重要概念，用于量化数据集中各个观测值与平均值之间的差异程度。理解方差有助于我们更好地分析数据，并在金融、科学研究、机器学习等领域中发挥关键作用。
在计算方差时，有两种常见的方法：有偏估计和无偏估计。有偏估计 通常用于描述当前样本本身的离散程度，而无偏估计则是为了通过样本数据来推断总体特性。了解这两种估计方法的区别对于正确地使用方差至关重要。
样本与总体的关系
在统计学中，总体（Population）是指研究对象的全体，它包含了我们感兴趣的所有个体或观测值。然而，由于时间、成本和其他资源的限制，通常无法对整个总体进行全面研究。因此，研究人员从总体中抽取一个较小的部分，这个部分称为样本（Sample）。样本是总体的一个子集，代表了总体的某些特征。通过对样本进行分析，研究人员可以推断总体的特性。
样本数据是通过采样（Sampling）过程得来的，这个过程可以是随机的，也可以是系统的。采样方法的选择会影响样本的代表性和推断的准确性。因为样本只能部分反映总体的特性，所以在利用样本估计总体特性时，需要特别注意估计方法的选择。
什么是方差？
方差（Variance）是用来度量数据集中各观测值与其平均值之间差异的统计量。方差越大，表示数据点之间的差异越大；反之，方差越小，表示数据点之间的差异越小。
方差的数学公式
对于包含 n n n 个观测值 x 1 , x 2 , ... , x n x_1, x_2, \ldots, x_n x1,x2,...,xn 的样本集，方差 σ 2 \sigma^2 σ2 的公式为：
σ 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 σ2=n1i=1∑n(xi−μ)2
其中， μ \mu μ 是样本均值，定义为所有观测值的平均值： μ = 1 n ∑ i = 1 n x i \mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i μ=n1∑i=1nxi。
有偏估计 vs. 无偏估计
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有偏估计：使用分母为 (n) 的公式计算样本方差，用于描述当前样本数据的离散程度。适合在仅关注样本本身特性、不考虑推断总体方差的情况下使用。
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无偏估计：使用分母为 (n-1) 的公式计算样本方差，常用于通过样本数据推断总体方差。通过调整分母的值，补偿样本均值可能带来的偏差，使得估计值更接近于总体方差。
方差的计算示例
假设有一个包含五个观测值的数据集： 2 , 4 , 6 , 8 , 10 2, 4, 6, 8, 10 2,4,6,8,10，计算该数据集的方差如下：
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计算均值 :
μ = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 5 = 6 \mu = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6 μ=52+4+6+8+10=6 -
计算每个观测值与均值之差的平方:
- ( 2 − 6 ) 2 = 16 (2 - 6)^2 = 16 (2−6)2=16
- ( 4 − 6 ) 2 = 4 (4 - 6)^2 = 4 (4−6)2=4
- ( 6 − 6 ) 2 = 0 (6 - 6)^2 = 0 (6−6)2=0
- ( 8 − 6 ) 2 = 4 (8 - 6)^2 = 4 (8−6)2=4
- ( 10 − 6 ) 2 = 16 (10 - 6)^2 = 16 (10−6)2=16
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计算方差 :
σ 2 = 16 + 4 + 0 + 4 + 16 5 = 8 \sigma^2 = \frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = 8 σ2=516+4+0+4+16=8
因此，该数据集的方差为 8。
无偏估计的推导与重要性
从有偏估计到无偏估计的推导
样本方差的有偏估计公式为：
S b i a s e d 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 S^2_{biased} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 Sbiased2=n1i=1∑n(Xi−Xˉ)2
计算期望值时发现：
E ( S b i a s e d 2 ) = σ 2 ⋅ n − 1 n E(S^2_{biased}) = \sigma^2 \cdot \frac{n-1}{n} E(Sbiased2)=σ2⋅nn−1
这表明有偏估计低估了总体方差。为了修正这一偏差，我们引入无偏估计，公式为：
S u n b i a s e d 2 = n n − 1 ⋅ S b i a s e d 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 S^2_{unbiased} = \frac{n}{n-1} \cdot S^2_{biased} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 Sunbiased2=n−1n⋅Sbiased2=n−11i=1∑n(Xi−Xˉ)2
经过推导，得到：
E ( S u n b i a s e d 2 ) = σ 2 E(S^2_{unbiased}) = \sigma^2 E(Sunbiased2)=σ2
这证明了无偏估计的期望值正好等于总体方差，保证了估计的准确性。
Bessel校正的原因
Bessel校正通过将分母改为 n − 1 n-1 n−1 来调整样本方差的估计，确保其无偏。这种调整考虑了样本均值与总体均值的差异，使得估计更接近真实的总体方差。
是否总是需要无偏估计？
如果只关注当前样本的离散程度而不是推断总体方差，可以直接使用样本方差，即采用分母为 n n n 的公式。这种情况下，无需进行无偏估计的校正，因为目标只是描述样本本身而非推断总体特性。
方差的应用场景
- 金融领域：衡量资产价格波动性。
- 质量控制：监测生产过程中的一致性。
- 社会科学：评估调查数据的可靠性。
- 生物学：分析实验数据的变异性。
- 机器学习：识别模型训练中的重要特征。
结论
方差是描述数据离散程度的关键工具。在估计样本方差时，使用无偏估计能更准确地反映总体方差。如果仅关心样本本身的特性，无需进行无偏估计。