从行或列的角度思考矩阵-向量乘法(matrix-vector multiplication)

从行或列的角度思考矩阵-向量乘法可以帮助理解这个运算的几何意义以及如何在计算中操作。

1. 从行的角度思考

假设我们有一个 m × n m \times n m×n的矩阵 A A A 和一个 n × 1 n \times 1 n×1的列向量 x \mathbf{x} x。矩阵-向量乘法 A x A\mathbf{x} Ax 的结果是一个 m × 1 m \times 1 m×1的列向量。

从行的角度来看,每个结果向量的元素都是矩阵 A A A 中对应行的线性组合。具体地说:

  • 矩阵 A A A 的第 i i i 行向量 a i \mathbf{a}_i ai 与向量 x \mathbf{x} x 进行点积,得到结果向量 y \mathbf{y} y 的第 i i i 个元素 y i y_i yi 。
  • 公式表示为:
    y i = a i ⋅ x = ∑ j = 1 n a i j x j y_i = \mathbf{a}i \cdot \mathbf{x} = \sum{j=1}^{n} a_{ij} x_j yi=ai⋅x=j=1∑naijxj
  • 这意味着矩阵-向量乘法的结果 y \mathbf{y} y 是所有行向量与 x \mathbf{x} x点积后所得的列向量。

2. 从列的角度思考

同样,考虑矩阵 A A A和向量 x \mathbf{x} x的乘法 A x A\mathbf{x} Ax,但是从列的角度来看。

  • 矩阵 A A A可以表示为 n n n 个列向量 a 1 , a 2 , ... , a n \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \dots, \mathbf{a}_n a1,a2,...,an的组合。
  • 乘法 A x A\mathbf{x} Ax 实际上是将列向量 a i \mathbf{a}_i ai 乘以标量 x i x_i xi 并求和:
    A x = x 1 a 1 + x 2 a 2 + ⋯ + x n a n A\mathbf{x} = x_1 \mathbf{a}_1 + x_2 \mathbf{a}_2 + \dots + x_n \mathbf{a}_n Ax=x1a1+x2a2+⋯+xnan
  • 这意味着矩阵-向量乘法的结果 y \mathbf{y} y是矩阵 A A A的每个列向量 a i \mathbf{a}_i ai按 x i x_i xi加权后的线性组合。

小结

  • 行视角:每个结果元素是矩阵行向量和列向量的点积。
  • 列视角:结果向量是矩阵列向量的线性组合,其中组合系数由列向量中的对应元素给出。

通过从行和列两个角度去理解矩阵-向量乘法,可以更深入地把握矩阵运算的本质以及其在不同应用场景中的几何意义。

相关推荐
SweetCode1 分钟前
裴蜀定理:整数解的奥秘
数据结构·python·线性代数·算法·机器学习
程序员Linc13 分钟前
写给新人的深度学习扫盲贴:向量与矩阵
人工智能·深度学习·矩阵·向量
补三补四44 分钟前
机器学习-聚类分析算法
人工智能·深度学习·算法·机器学习
荷包蛋蛋怪2 小时前
【北京化工大学】 神经网络与深度学习 实验6 MATAR图像分类
人工智能·深度学习·神经网络·opencv·机器学习·计算机视觉·分类
贤小二AI2 小时前
贤小二c#版Yolov5 yolov8 yolov10 yolov11自动标注工具 + 免python环境 GPU一键训练包
人工智能·深度学习·yolo
意.远2 小时前
在PyTorch中使用GPU加速:从基础操作到模型部署
人工智能·pytorch·python·深度学习
Uzuki8 小时前
AI可解释性 II | Saliency Maps-based 归因方法(Attribution)论文导读(持续更新)
深度学习·机器学习·可解释性
snowfoootball13 小时前
基于 Ollama DeepSeek、Dify RAG 和 Fay 框架的高考咨询 AI 交互系统项目方案
前端·人工智能·后端·python·深度学习·高考
odoo中国13 小时前
深度学习 Deep Learning 第15章 表示学习
人工智能·深度学习·学习·表示学习
橙色小博14 小时前
长短期记忆神经网络(LSTM)基础学习与实例:预测序列的未来
人工智能·python·深度学习·神经网络·lstm